文摘

小说和高效数值方法开发了基于插值缩放功能来解决二维弗雷德霍姆积分方程(5)。使用的积分运算矩阵插值缩放功能,5减少一组代数方程,可以获得解决这个系统的近似解。收敛性分析研究,一些数值实验证实了该方法的准确性和有效性。显示该方法的能力,和我们与他人进行比较。

1。介绍

在这项工作中,我们重点发展小波伽辽金方案2 d弗雷德霍姆积分方程(2 d-fie),给出的 的功能 和 连续函数在 和与 ,分别规定。函数,可以是线性的或非线性的。未知的 是寻求。

大多数物理现象的数学模型使用积分方程。因此,应用积分方程在应用数学是一个重要的话题。另外,这个方程在新处方的其他数学问题中起着重要作用。主要是,弗雷德霍姆积分方程可以获得从转换边值问题1]。方程(1)是一种有效的工具从电磁散射模型的问题,计算机图形学、空气动力学(2,3]。

许多论文研究了弗雷德霍姆积分方程数值。其中,我们可以提到一个有效的数值方法基于block-pulse函数(3]。Effati et al。4)利用神经网络方案解决这种类型的积分方程。基于稀疏表示与已开发和利用一个有效的算法来解决系统5 (5]。在[2),大量的数值方法,研究解决5的数值解。对于一些相关的作品,我们参考的读者6- - - - - -8]。

有很多论文开发和分析数值方法求解二维5。在[9),研制了一种新颖的算法来解决这个问题用积分中值定理。齐米等。10)提出了基于正交迭代法解决2 d-fei公式。基于发展的数值方法应用二维三角正交函数(11]。阿齐兹et al。12)使用Haar小波方法解决问题(1)。该方法的主要优点是,与其他人不同的是,它不应用数值积分。在[13),一个Euler-type方法提出解决考虑问题。辛格et al。14)提出了一个基于勒让德扩展函数的数值方法来解决多维弗雷德霍姆积分方程。在[15),一个精确的计划开发求解二维弗雷德霍姆积分方程利用cosine-trigonometric功能。在[16),基于稀疏最小二乘迭代算法是用来解决这个问题。对于一些相关的作品,我们参考的读者17- - - - - -20.]。

二重发现一个有趣的基础解各式各样的方程(21- - - - - -23]。与多小波的一些性质,如正交性、消失的时刻,和紧凑的支持。与小波双正交小波,他们可以有高平滑度和高大致顺序加上简短的支持(24]。双正交小波相反,二重可以有高消失时刻没有扩大他们的支持(25]。一般来说,二重一个非常强大的工具,表达不同的运营商。在目前的工作,我们应用插值尺度函数构造(6,26]。

论文的其余部分的大纲如下。节2,我们投入的属性插值缩放功能和相关的预测。节3,我们定义小波伽辽金方法并研究了收敛性分析。节4,我们解决一些数值例子来证实这个计划的准确性和效率,展示其能力与其他方法进行比较。部分5包含几个结论。

2。插值缩放功能

让 。我们认为统一有限离散 ,子区间, 由点吗 ,与 。为 ,我们介绍了子空间分段多项式空间基地的程度小于多样性参数跨越的 在哪里和分别翻译和膨胀运算符,是原始的插值缩放基地引入Alpert et al。26]。考虑到节点 ,勒让德多项式的根的学位 ,被定义为插值缩放的基地 在哪里拉格朗日插值多项式在点吗和是Gauss-Legendre正交重量(22,26]。在这些基地形成标准正交基关于 - - - - - -内积。根据空间的定义 ,的空间有尺寸 显然是嵌套

每一个函数 可以在表单吗 在哪里正交投影映射吗在子空间 。找到系数所决定的 ,我们将计算积分。我们应用 - - - - - -点Gauss-Legendre正交权重的一个合适的选择和节点为 为了避免这些积分(5,26)通过

收敛性分析的投影是调查 - - - - - -次连续可微函数 (26]。

这个近似的全部证据和更多细节,我们将读者6]。因此,我们可以得出结论,收敛于在收敛速度 。

假设向量函数 与 包括扩展函数和多尺度函数。近似(5使用向量)可能被重写这包括条目 如下: 在哪里是一个 - - - - - -维向量。这些基地建设的构建块可以应用于近似一个高维函数。为此,可以引入二维子空间 跨越的

因此,通过这种假设,得到一个近似的函数 由投影算符 ,我们得到了 组件方阵的哪里的订单获得的是 在哪里 。考虑到 - - - - - -th偏导数的 是连续的。利用这样的假设,这种近似的误差可以界定如下: 在哪里是一个常数(27,28]。

3所示。小波伽辽金计划(WGS)

对于本文的完整性,我们描述小波伽辽金方案二维弗雷德霍姆积分方程(1)。在操作员的形式中,方程(1)可以写成 在哪里操作员和弗雷德霍姆身份吗 被认为是紧凑 。

假设的独特解决方案(1)可以近似为一个扩张通过插值缩放功能 在哪里是一个 矩阵的元素必须找到和投影算符地图在子空间 。同时,我们可以写相同的扩展功能 。这些被替换成(13)和系数利用伽辽金方法决定的。供以后使用,引入的残余 在哪里 , ,和 。由于金法,它是紧急的 ,为 。推导出近似解,我们解决代数方程组

这个系统可以是线性或非线性和它取决于功能 。该方法的关键步骤是如何近似 。为此,假设 在哪里 是一个 通过矩阵的条目(11)。用(18)(14),一个可以写 在哪里是一个 矩阵和是积分的运算矩阵插值缩放功能介绍(22]。由于这个近似,系统(17)可以写成 在哪里 。

3.1。收敛性分析

定理1。假设是一个紧凑的运营商,内射,序列 是点态收敛和集体紧凑。然后,存在,是一致有界的解决方案(13)满足误差估计

证明。出于定理的假设,我们可以得出这样的结论: 使用(22),都足够大 ,我们可以写 作为一个结果,是可逆的。
选择 这样 由于几何级数定理,存在,是一致有界的,即 收敛性的调查分析的近似成立通过 , 规范(26)和使用(25),可以获得一个 应用算子(两边13),然后重新排列 减去(28)的原始方程(13),我们有 采取规范和使用(27), 这是简单的证明 作为 。假设是连续函数,这样的序列 作为 。自正交投影满足 ,我们可以获得 因此, ,存在一个数量因此,对于任何 ,一个可以写 。这就意味着, 这意味着 ,足够大的价值因为是任意的,因此, 作为 。

4所示。数值例子

为了说明该方案的准确性和效率,一些方程的形式(1)提出了解决的方法。在本节中,最大绝对值误差, 和 - - - - - -错误是用来显示该方法的准确性。所有数值计算同时使用枫木和MATLAB软件进行。

例1。让我们考虑以下二维线性弗雷德霍姆积分方程: 确切的解决方案是 (9,11]。
该方法是与积分中值定理9和2 d-tfs方法11)表1。结果在表1表明,该方法比其他方法具有更好的精度。图1显示了近似解的表面和绝对误差 和 。在图2我们展示的影响参数和在 - - - - - -错误。很明显,增加了参数和减少了误差。收敛的顺序给出了数值例子1在表2。正如我们所料,订单必须收敛方法的多样性 。

例2。现在让我们考虑以下二维线性5: 确切的解决方案 给出了在9]。
表3说明了该方法的计算结果比较,积分中值定理(9),和2 d-tfs方法(11]。结果表明,该方法比其他的要好。图3显示了近似解的表面和绝对误差 和 。表4显示了多样性的影响参数和细化程度例如2。收敛的顺序给出了数值例子2在表5。

例3。让我们考虑非线性2中给出d-fie [10]: 确切的解决方案 给出了在10]。
在表6,我们比较该方法和求积公式提出了(10]。结果表明,该方法比方法更加灵活(10),并提供更好的使用更少的计算精度。图4显示了近似解的故事情节和绝对误差 和 。图5显示了多样性的影响参数和细化程度例如3。收敛的顺序给出了数值例子3在表7。

例4。考虑下面的非线性2中给出d-fie [12,18]: 确切的解决方案是在(12)通过 表8说明了该方法的计算结果比较,Nystrom方法(18),Haar小波方法(12]。绝对误差的近似解,绘制在图6当 和 。

5。结论

插值缩放功能应用于获得2 d弗雷德霍姆积分方程的近似解。收敛性分析研究,计算结果与现有的方法相比。结果表明,该方法比其他人更加灵活,结果表明,该方法比其他方法具有更好的精度。提高准确性,没有必要增加多项式的学位(如切比雪夫和勒让德与基地)。通过增加水平的改进 ,我们可以提高准确性。此外,这些基地的插值性质,这有助于我们避免直接寻找系数和积分降低了计算成本。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者声明没有任何已知的人际关系或利益冲突的出现影响本文中报告的工作。

确认

这个项目是由研究人员支持项目。RSP-2020/210和沙特国王大学,利雅得,沙特阿拉伯。