文摘

在本文中,我们调查的长期动态阻尼波动方程有界光滑的领域 。指数吸引子的研究是一个强大的能量空间subquintic非线性的情况下,基于最近的延伸Strichartz估计有界的情况下域。获得的结果完成一些以前的作品。

1。介绍

让 是一个有限域具有光滑边界。鉴于 ,我们考虑下面的弱阻尼波动方程:

在这里, 是独立于时间和非线性函数 与 并满足以下条件: 在哪里 和 是第一个特征值的 在 狄利克雷边界条件。

表示由 和 内积和规范 。为了方便起见,我们定义希尔伯特空间 , ,和 。

耗散波动方程出现作为一个进化的数学模型在各种系统的相关物理应用包括电动力学,量子力学,弹性和非线性(见例如,[1])。的长期行为问题(1)是一个大永久利益(见如。2- - - - - -5),这很大程度上取决于非线性的增长速度 。很长一段时间,在一个有界光滑的领域 ,全球问题的适定性问题(1)只有在subcubic或立方非线性(指数 1.2小于或等于3)的唯一性验证水列夫嵌入的技术。因此,立方非线性的增长率被认为是一个关键的情况下3 - 有限域。因此,全局吸引子的存在弱阻尼波方程在自然能量的空间 以及它的规律只有一直为大众所知 ,也就是说,非线性项 最多可以立方增长3 - 有限域(见[2,3,5,6),在其中的引用)。

supercubic增长率的情况下是一个更复杂的自能量弱解的唯一性是supercubic未知的情况下(例如,见7])。然而,这个问题是可以克服的比能量的使用更常规的解决方案。这些解决方案是所谓Shatah-Struwe解决方案。最近,借助Strichartz合适版本的估计,全球五次波动方程的适定性问题3 - Shatah-Struwe解决方案 顺利取得有限域(8- - - - - -10]。基于这一事实Strichartz估计可以推广到弱阻尼波动方程,Kalantarov et al。11)获得了弱阻尼波动方程的适定性问题在五次非线性的情况下在有限的领域 ,的解决方案是额外的弱解规律叫Shatah-Struwe解决方案;此外,他们还考虑五次非线性的情况下的全局吸引子。

考虑到浓溶液,在1983年,Babin和Vishik [3]研究了阻尼subcubic波动方程 。寻求一个紧凑的吸收 ,他们要求的初始数据 ,他们证明了最大的存在 吸引子的问题(1)。然后,Ladyzhenskaya [12)获得了 立方非线性的吸引子。在[13),第二作者验证了 通过不同的方法吸引子。最近,作者(14)获得了强劲的全球subquintic非线性的吸引子。

许多作者提到,全球吸引子,然而,并没有提供一个实际的控制轨迹的收敛速度和扰动可以敏感。为了克服这些困难,伊甸园等人介绍了指数吸引子的概念(参见[15,16])。在全球吸引子相反,指数吸引子不是独特的,它只是累积量。然而,它的优势是稳定的扰动,吸引了轨迹成倍增长,有限的分形维数。强烈的阻尼波动方程,在亚临界情况下,Pata和Squassina17)建立了一个指数吸引子的优化规律通过引导参数;在关键情况下,太阳和杨18,19)获得的指数吸引子基于解决方案的一些渐近的规律性。弱阻尼波动方程,伊甸园et al。20.]和Grasselli Pata [21]调查指数吸引子的问题(1)与立方非线性 和 ,分别。在[supercubic非线性、22),我们建立了指数吸引子 。然而,我们所知,没有结果指数吸引子问题(1) 。

在本文,我们之前的延续工作(14,22),我们专注于在subquintic指数吸引子的存在,但supercubic案例并建立一个指数吸引子强拓扑空间中基于Shatah-Struwe解决方案。

我们的主要结果可以说明如下。

定理1。让 和 满足(2)。然后,解半群 作用于 拥有一个指数吸引子 紧凑的 ,满足下列条件:(我) 是正的不变,即 对所有 。(2) ,也就是说, 有有限的分形维数。(3)存在一个单调递增函数 和积极的常数 这样,对于任何有界集 ,

上述定理将证明部分3。在此之前,初步的东西,包括一些符号,,适定性问题和全球系统的吸引子节中讨论2。

在本文的其余部分,表示 任何积极的常数可能不同于线间甚至在同一行;我们也表示积极常数不同 ,对于特殊分化。

2。和全局吸引子适定性问题

首先,我们回忆的稀溶液和浓溶液的定义问题(1)(11],它将被用于我们的结果。

定义1。(见[11])。对于任何 ,一个函数 是一种弱解的问题(1)如果 与方程(1)是满意的分布,也就是说, 对于任何 。此外, 是一个强大的解决方案如果 。
强解的适定性问题,我们有以下结果。

定理2(见[14])。让 和 满足(2)。然后,对于每一个 ,存在一个独特的全球强大的解决方案 的问题(1)与能量估计 在单调函数 是独立于 和 。此外,对于任意两个强大的解决方案 和 ,存在一个正的常数 根据 - - - - - -规范的 和 这样 在哪里 。
因此,生成一个强大的解决方案 算子半群 在 如下: 这是连续的 。

最后,我们国家全局吸引子的存在强大的能量空间,这将用于引理3。

定理3(见[14])。让 和 满足(2)。然后,解半群 相关的问题(1)具有全局吸引子 在空间 。

3所示。定理的证明1

有两种不同的方法找到指数吸引子。原来(cf。15,16])依赖于证明了半群 满足挤压房地产和下面的方法(cf。16,17,23)建立了通过分解半群,更容易验证阻尼波动方程。

引理1。让 和 这样两个巴拿赫空间 是紧密地嵌入到 和 是一种半群上 。假设存在一个有界不变 和时间 这样以下控制:(我)地图 是李普希兹连续(公制继承 )。(2)地图 承认的分解形式 在哪里 和 满足的条件 对于一些 。

然后,当地的动力系统 拥有一个指数吸引子。

为了验证当地的指数吸引子 是一个指数吸引子的 ,下列动词的指数吸引是必要的。

引理2(见[24])。让 是一个度量空间 这样是一种半群作用于这个空间 对于一些非负常数 和 。此外,我们假设存在三个子集 这样 对于一些 和 。然后接下去 在哪里 和 。

我们将验证引理的所有条件1一步一步。

步骤1。积极构建一个有界不变集。
分解的解决方案 作为 在哪里 解决线性问题 ,其余 满足 它是方便的表示 在哪里 。对方程(15),很容易检查解决方案是指数衰减,即 适用于一些 。从[14引理4.2],我们有以下规律估计 : 与 足够小。

引理3。让定理的假设1持有。然后,存在一个紧凑的正不变集 在 ,正的常数 ,和一个单调递增函数 这样,对于任何有界集 ,

此外,一组 是有界的 。

证明。消失后 - - - - - -组件,我们可以获得一个“摄动积极的轨迹。”,原是渐近接近积极轨迹成倍增长。因此,一组摄动积极轨迹将是一个有前途的候选人为指数吸引集。这个想法,表示 ,在哪里 是一个全局吸引子的附近吗 。我们将显示 是一组指数吸引。注意到吗 是一个吸收集。因此,对于任何给定的有界集吗 ,存在 这样 ,对所有 。此外,为 ,我们有 另一方面,通过不平等(5),我们有统一的估计 对于一些 唯一的依赖 。结合上述两个不等式,我们获得 然后,我们定义了一个积极的规定不变 ,满足 它仍然显示 是有界的 。不平等(19)意味着 和 都是有界的 。因为 ,如果我们可以证明,我们将完成我们的证据 有界(一致 )在 。请注意, 是由线性问题 很明显, 如果 。因此, 意味着 是有界的 。因此,通过设置 ,完成证明。

步骤2。我们将验证渐近的规律性和李普希茨连续性。

引理4。让定理的假设1持有。然后,存在一个时间 这样,以下属性:(我)我们估计 的常数 只取决于 和 。(2)映射 李普希兹连续在 - - - - - -规范上 。

证明。(我) ,集 和 。然后, 和 解下列方程分别为: 从方程(27),我们可以得到指数衰减估计 。因此,通过设置 ,我们有 的内积(28), 和集成 ,我们可以获得 自 我们有 对于一些 根据 和 。
(二) 和 ,我们有 第一项是由估计(6)。回想一下, 是不变的,因此 。用的 规律性结果到方程(1),我们有 。这个收益率的右边第二项(33),我们有 因此,应用引理1,我们可以证明一个指数吸引子的存在 为 在 立即。从建设 , 指数吸引了所有有界整个相空间的子集 。然后,意味着指数的传递性性质吸引力 吸引了所有有界整个相空间的子集 指数,即 是一个指数吸引子的 。

数据可用性

用来支持研究的数据都包含在这篇文章。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

c .刘支持江苏省自然科学基金(批准号BK20170308)和国家自然科学基金委(11801227);f·孟是由国家自然科学基金委(11701230);c .张支持由国家自然科学基金委(11801228)和双重创新(创新和创业)在江苏省人才项目。