文摘
仿射独异点是视为自然离散有限生成锥的类似物。这两个对象之间的互连过去十年以来一直是一个活跃的研究领域。星形网络中最常见的一种计算机网络拓扑。在这项工作中,我们研究明星拓扑和关联Coxeter仿射结构类型。我们找到一个递归关系和希尔伯特一系列相关的直角独异点 。我们观察到的增长率独异点是无限的。
1。介绍
希尔伯特的系列分段交换代数和齐次部件的尺寸密切相关的代数。这一概念一直延伸到过滤代数和连贯的捆在射影计划(1]。希尔伯特系列作为一个特例Hilbert-Poincare系列的梯度向量空间和密切相关的单词的字母。希尔伯特系列帮助计算单词的字母不包含一组固定的词语。这也是命名为著名的禁止subwords问题可以翻译单项代数的水平。如果我们有一个字母 和文字 ,众所周知,单词的数量避免这个词在与单项一一对应有非零的形象戒指 。如果是一个有限生成独异点,那么希尔伯特级数的系数满足递归关系。希尔伯特系列几个流行的代数表现为幂级数的理性功能(2]。特别是当独异点事情变得有趣有一个理性的希尔伯特系列。这种情况什么时候我们有一个有限独异点。希尔伯特系列的意义可以描述一个独异点的增长。多项式独异点的增长是有限的如果系数的希尔伯特系列对于一些数量 。独异点指数增长如果系数大于对于一些 。有趣的是,独异点应该可以用多项式有限生长。的多项式增长边界是小于Krull维度。在非交换设置,拓扑学家使用增长研究基本组。米尔诺尔证明,如果一个紧凑的黎曼流形截面曲率的负面,那么它的基本组织指数增长,如果一个完整的 - - - - - -维黎曼流形的平均曲率张量都半正定,然后有限生成子群的基本组织多项式有限增长。简而言之,一个独异点一个指数级增长或多项式增长。增长的程度是一个小于杆1的顺序的希尔伯特系列。
Coxeter组介绍了加拿大1934年尺蠖h·s·m·Coxeter解决众所周知的著名词问题,即两个词是否发生在发电机的演讲组对应于同一元素。这些团体有不错的其他属性,如拥有忠实的线性表示反射的团体。在一个重要的方法,它可以证明,这些团体是抽象规则多面体的类似物。这些多面体凸包的一些点 。Coxeter团体发电机 和有关系 和 与 ;有限和无限的团体通常称为球面和仿射。
星形拓扑结构的一个重要拓扑用于网络和其他现实问题。研究此拓扑的一个方法是通过使用丹金图形(3)(或Coxeter图),和其他的方法是通过使用独异点。注意的关系 给阿廷组。所以,Coxeter团体商组阿廷的组。有限Coxeter集团是一个离散的代理群反射球面(3]。这就是为什么,他们被称为球面。阿廷编织集团 ,是一个球形Coxeter组。生成的无限Coxeter组织反射在仿射空间(3]。
2009年,斋藤(4)发现球形增长一系列阿廷独异点(5]。在[6),我们给一个线性系统的规范词编织独异点导致找到希尔伯特系列 。在[7),我们计算希尔伯特系列在乐队的发电机。2006年,Mairesse和Matheus [8)给dihedral-type增长一系列阿廷组。1993年,帕里(9)给增长一系列Coxeter组。在[10),我们证明了球面阿廷独异点的增长的上限是4。但是,在仿射的情况下,这个结果是不正确的。在[11),我们发现了一个递归关系和希尔伯特一系列相关联的直角的仿射阿廷独异点并显示其增长率是无界的。在[12),我们发现的希尔伯特系列并显示其增长率也是无限的。
在本文中,我们研究了明星拓扑并找到递推关系和希尔伯特一系列相关的直角独异点 。我们也计算增长率独异点并观察它是无限的。
2。预赛
我们开始本节与Coxeter组和阿廷组的概念。研究了星形拓扑作为丹金图形,然后将它作为一个独异点。这些基本的初步事实和符号后需要制定我们的主要结果。
定义1。一个正方形对称矩阵 据说是一个Coxeter矩阵/一套非空的这样所有的对角线条目1和 。
定义2。让是一组标记图的顶点
。我们称之为Coxeter图如果任意两个顶点相连的边缘,如果每条边大于2的标签。
按照惯例,每个边缘标记只有在大于3的标签。
定义3。一群与发电机和关系 和 对所有 和 被称为Coxeter集团这样的吗是Coxeter矩阵。
定义4。阿廷集团是 如果Coxeter集团是有限的,那么被称为球面阿廷集团。
定义5。直角阿廷组或独异点了如果所有的标签,这是大于或等于3,球形Coxeter图替换
。
阿廷球形组通常由Coxeter图(见[3,13]);这些团体为
,
为
,
为
,
,
,
,
,
,
,
,和为
和
。图1包含这些图表。
定义6。(见[14])。一个字的长度 的有限生成组是最小的非负整数吗的 ,在哪里发电机的设置吗 。
定义7。(见[14])。球增长一系列有限生成组是
,在哪里是长度的字数
。
让
在一个给定的独异点关系
。然后,在length-lexicographic秩序,大于或等于
。一个词有一个模棱两可如果和剩下两个关系。如果和是相同的,那么是可以解决的。如果和通过词典顺序不同,然后得到一个新的关系
。报告说完整的如果解决方案的所有歧义是相同的。一个可还原的词左边是一个独异点的关系的一个完整的演示。如果不包含任何关系的lh,呢被称为规范词。在[以下概念15- - - - - -20.]在不同的术语:Grobner基,完整的演示,重写系统,等等。
3所示。主要结果
在本部分中,我们计算我们的主要结果。
3.1。递归关系的独异点
在本文中,我们研究了明星拓扑并找到递推关系和希尔伯特一系列相关的直角独异点 。我们计算的增长率独异点 ,使用图表,我们表明,它是无限的。恒星的Coxeter图拓扑由以下给出图(图2):
我们表示相关的直角独异点通过 。在 ,我们修复一个全序 在发电机。因此,显然我们有以下引理。
引理1。的独异点有发电机
和关系
为
和
为
。
本节讨论一些关于递归关系的有用的结果
:考虑一个系统(21的线性关系:
同样,
,在哪里
系统的解决方案
是
,在哪里和
的特征值和特征向量分别是
。最大特征值代表序列的增长率
。
在以下和
,我们指的数量标准的长度和单词开始
。
引理2。 满足的关系 , ,和 ,在哪里是 让表示特征多项式,然后我们有以下。
定理1。特征多项式系统的递归关系满足的关系: 在哪里 和 。
证明。系统的系数矩阵的特征多项式的递归关系给出引理2是 添加在第二最后一行,最后一行 现在,减去第二最后一列从最后一列和简化 ,在哪里 我们写 ,的决定因素和是通过分裂的最后一行是 的最后一行是 。因此,很容易,我们有 和 。因此,我们有 在这里,我们有一个明确的公式 。
引理3。在 ,特征多项式给出明确
证明。从方程(5),我们有 。因此,我们有
3.2。希尔伯特独异点的系列
从现在开始, 表示的希尔伯特系列吗 ,和 表示的希尔伯特系列吗的单词开始 。
下面的引理2我们得到以下。
定理2。为 ,我们有(1) (2) (3)
证明。(1)自 , 。(2)另外,从引理2,我们有 。因此, 。(3)它可以被证明是类似的。线性系统的定理2的形式 ,在哪里
引理4。为
,我们有
。
方程组给出的定理2,我们有以下。
引理5。
证明。很明显提出来每一行的 。
引理6。
证明。系统的解决方案
是
,在哪里矩阵的行列式是获得的替代0吗th列通过
。也就是说,
添加th列它的列数
,我们得到了
。
以下结果给出了希尔伯特的系列
。
定理3。
3.3。结论
在这里,我们给,通过构造affine-type Coxeter星拓扑结构,递归关系和直角的希尔伯特系列独异点与明星相关图。主要结果是 。我们也计算增长率, ,的使用数学;一些初始值: , , , , , , , , , , , , , , , , , 。我们也计算 , , , ,和 。我们有下面的图代表的增长率的行为(图3)
我们观察到的增长率增加,是无限的。因此,在最后,我们有以下自然开放问题走出我们的研究。
一个开放的问题:增长率是无限的。
数据可用性
没有这样的数据被用于这项研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这个项目是由安徽新华大学的自然科学基金项目(批准号2017 zr011)。