文摘
摘要古典合作生态系统中的传播速度,范围的研究。通过引入一个辅助合作体系,构建一个上层的解决方案,我们获得一个充分条件来确定未知函数的两种截然不同的传播速度。由于不同的平均移动速度不同的水平集,我们发现存在的传播平台在这种合作与常系数系统。我们还将展示一些数值结果说明我们的结果。
1。介绍
有很多例子,两个或更多物种之间的相互作用的优势,通过合作或互助论描述种群动态模型。考虑到有限的承载能力两个物种,一个基本合作模式是以下类型生态系统: 所有的参数是积极的和 代表两种合作的密度。我们称穆雷(3.6节1])的动力学(1)。介绍个人的空间运动,一个反应扩散模型是由(2] 在这 和所有的参数都是正的。如果 ,然后(2)承认积极的稳态空间均匀和定义的
从人口的角度动态,制定动态的一个重要问题是(2)当初始值满足适当的条件。特别是,假设 非空的紧凑的支持,李et al。2和林3]研究了相应的初值问题(2通过以下传播阈值()4]。
定义1。假设
是一个非负函数
。然后被称为蔓延的速度吗
如果(一)
对于任何给定的
(b)
对于任何给定的
更准确地说,李et al。(例子4.1 [2])估计,
和其他一些边界时
。此外,林(定理3.13])证明
,然后
。本文的目的是提出这样一些结果
如果
。
林(定理3.1 (3),它可以研究的上界如果
。为此,我们引入一个辅助合作系统,承认弱不可约的财产。经典的结果在温伯格et al。5]的存在意味着恒速的渐近扩散。然而,这个系统不是subhomogeneous,我们不能使用一些经典结果的单调semiflows的速度。在本文中,我们目前的一些充分条件
,基于适当的上、下解和比较原则。此外,我们给出一些数值结果探索线性部分和非线性部分的角色在反应中。
2。主要结果
考虑到初始值的问题 在这 积极的参数满足
初始条件 有界和一致连续函数非空的支持这样承认吗
引理1。方程(5)等全球经典解决方案
研究下面的辅助系统 在哪里 ,和
引理2。方程(9)等全球经典解决方案
此外,意味着比较原则
在稳定状态 ,的线性化系统(9)是
显然,(13)不是不可约,但一触即发的效应(9)发生一次即使承认非空的支持 。这种现象类似于竞争排斥过程扩散竞争系统(见温伯格et al。5])。再次比较原理和结果节中提到的1(李et al。(例子4.1 (2])和林(定理3.1 (3])),我们有以下结果传播速度。
引理3。 如果 。
由引理3,它可以给一些充分条件 。请注意,(9)是合作而不是subhomogeneous;然后温伯格et al。5)意味着 也清楚利用比较原理和研究以下辅助方程(4]:
现在,我们证明 通过构造上、下解。为目的,我们介绍一些符号。定义
我们将证明以下结果传播速度。
定理1。假设 。如果 然后 这样 。
证明。定义
在这
是一个常数,这样吗
如果
是一个上层的解决方案(9),那么结果就是真正的合作系统的比较原理。我们现在证明上的定义解决方案。
我们首先证明
当
是可微的,清楚吗
。当
是可微的,那么
这样,(20.)的定义是正确的
。类似地,如果
是可微的,那么我们可以获得同样的不平等(20.)。
在
,我们需要证明
当
是可微的,如果是真的吗
自
当
是可微的,那么
通过
,然后(22)是真的如果(17)持有。类似地,如果
是可微的,那么(22)持有。证明已经完成。
一旦确认传播速度,我们可能会获得收敛的结果在不同的移动间隔时间趋于无穷时的单调性和引理,这是类似于林(定理3.1的证明(3])。
定理2。假定定理1成立。那么,对于任何给定的 我们有 和
3所示。数值模拟
在本节中,我们模拟几个病例传播的速度(2)。定义 这是一个特殊的水平集的 。如果 ,然后 可以制定的平均移动速度水平集在时间间隔 ,的限制可能会进一步描述的传播速度 作为趋于无穷。
例1。我们把 和初始值 显然,(17)是正确的。我们的理论,我们有 从数据1和2,我们看到在两个截然不同的两个物种入侵生境几乎恒定的速度。此外,有不同的移动速度和移动速度的(和 )接近( )。
例2。我们把 和初始值 显然,(17)是正确的。我们的理论,我们有 虽然 不紧支撑,蔓延的速度接近我们的结果从数据3和4。此外,移动速度和接近 。
例3。我们把 和初始值 显然,(17)是不正确的。如果我们的理论是正确的,那么我们有 从数值结果(数据5和6),阈值可能是真的。
4所示。讨论
合作系统具有特殊的动力特性,例如,许多合作系统不承认非平凡周期解(8]。当传播动力学而言,已经受到了人们足够的重视,单调semiflows方(见et al。9),梁和赵10),他(11],温伯格et al。5])。如果合作系统是可约在某个invadable稳定状态(不稳定的稳定状态),那么它可能有几个不同的传播速度,这至少已经观察到(2)(见李et al。2和林3])。然而,它仍然是开放的传播速度呈现完整的结论(2),它是一个具有挑战性的问题进一步发展传播理论的单调semiflows subhomogeneous和不可约。
与常系数标量方程,传播动力学已被广泛研究。特别是,它已被观察到一个独特的传播速度在单稳态情况下和双稳态情况下(4,12如果解决方案可能会蔓延。当系数取决于空间或时间变量,传播动力学可能更复杂(13]。特别是,不同的传播平台发生由于不同的运动速度不同的水平集(14]。虽然传播梯田不发生在古典单稳态或双稳态与常系数标量反应扩散方程,我们可以观察到不同的平台(2)。进一步显示不同的传播速度不同的梯田也是一个有趣的问题。
数据可用性
使用的数据来支持这个研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由中国国家自然科学基金(没有。11461040)。