文摘
研究聚焦于一个三维的混沌行为Hopfield神经网络延时。我们发现非特异性的系数矩阵和系统的初始值条件,使用MATLAB软件绘制图表。结果表明,其形状非常相似的图罗斯勒ʼ混沌系统。此外,我们分析了散度,平衡点的雅可比矩阵的特征值,和系统的李雅普诺夫指数。这些属性证明系统的混沌行为。这一结果不仅证实了混沌神经网络也有系统的混沌特征非常相似的罗斯勒ʼ年代混沌系统在一定条件下。这一发现提供了有用的信息,可以应用于混沌Hopfield神经网络的其他方面,如混沌同步与控制。
1。介绍
混沌系统是非线性动力系统工作在一个随机过程,既不定期也不收敛但高度依赖于初始值。特别是,对初始条件的敏感性意味着任何小扰动在当前轨迹动态系统结果的显著差异在未来的行为。混乱广泛存在于自然和社会等领域化学,物理,数学,和生物学。混沌理论的研究热潮始于1970年代初,但新学科的起源可以追溯到上个世纪。庞加莱,法国数学家和物理学家是第一个已知的学者发现混乱。1880年,庞加莱第一研究混沌的可能性(1]。他研究了三体问题,成为第一个发现混乱的确定性系统显示一个非循环行为依赖于初始条件。这使得长期预测是不可能的,从而为现代混沌理论奠定了基础。进一步贡献比尔科夫,卡特赖特和Littlewood,莱文森,和柯尔莫哥洛夫,其中,后(2]。
美国气象学家洛伦兹,到1963年,发现了一个三维混沌系统,他后来被称为洛伦兹混沌系统,当天气模型研究(3]。革命工作的混乱被发现从一个三维混沌系统由美国气象学家爱德华·洛伦兹在1963年在研究天气模型。从那时起,深入研究混沌理论在科学和工程领域已经完成。理论在信息处理中有着重要的应用,高性能电路、安全通信和其他问题(4- - - - - -10]。
许多古典范式出现了自Lorenz混沌系统的发现,如著名的Rossler混沌系统(11陆),系统[12),陈系统[13),和Caiʼ年代电路混沌系统(14),等等。Rossler系统是最著名的混沌系统具有简单的吸引子不对称子结构从洛伦茨吸引子中提取的德国物理化学家Rossler。它起着至关重要的作用在信号处理15,安全通信16),和其他方面的问题。
在过去的十年中,神经网络已被广泛研究的混乱。例如,杨等人分析了瞬态混沌混乱分歧问题的一类简单的混沌Hopfield神经网络。(17]。邹等人观察到混沌吸引子的时滞细胞神经网络通过使用antisymbol模板(18),他们发现有趣的分形结构。在一项由Das et al .,丰富的动态特性是揭示人工神经网络分析的基础上由三个神经元和他们画分岔和三维模型的相图(19]。此外,张等人提出了一个二维的例子混沌神经网络(20.]。位于等人的提议显示跟立方项一类混沌系统,分析了其基本性质(21]。
基于先前的想法和位于工作等,在本文中,我们专注于一个三维的混沌行为Hopfield神经网络延时。我们提出了一个神经网络模型与特定系数。要理解这个模型的图形特征,我们使用MATLAB绘制相图。结果表明,其形状非常相似的图罗斯勒ʼ混沌系统。然后,我们分析了散度,平衡点的雅可比矩阵的特征值,和系统的李雅普诺夫指数。这些属性证明系统的混沌行为。这项研究的发现是令人振奋的。
2。一个三维混沌Hopfield神经网络延迟
我们认为以下三维延迟Hopfield神经网络: 在哪里 表示状态变量, 表示激活功能,表示传输延迟和我们 , ,和
当我们采取以下参数值,系统(1)提出了一种Lossler混沌吸引子: 初始条件是
图1混沌神经网络的三维视图显示系统(1)使用MATLAB进行数值模拟时,拥有一个吸引子,而数字2- - - - - -4显示系统的二维视图(投影)ʼ年代吸引子在三个坐标平面三维视图。图5显示系统(1)状态变量 ,分别与时间t。
(一)
(b)
(c)
3所示。三维混沌系统的延迟神经网络属性
在本节中,我们分析了混沌系统的基本性质(1),比如耗散度,稳定的平衡点,李雅普诺夫指数,Kaplan-Yorke维度。
3.1。耗散度
我们提出另一个向量形式的系统如下: 在哪里
参数值在混乱的情况下被任命为
让 光滑的边界,和让V(t)代表Ω的体积(t),并根据刘维尔ʼ年代定理,我们得到
自> 0,那么
整合双方的不平等(11)从0到t,我们获得
从方程(很容易识别12), 。这一结果表明,系统(1)是耗散。
因此,限制的系统最终是有限的一组特定限制的零卷,和混沌系统的渐近运动(1)是一个奇怪的吸附系统的吸引子。
3.2。平衡点的稳定性
解下列方程(b12= 30;b23= 90;b31日= 0.01;b33= ;c31日= 0.04;c33=−1.23),混沌系统(1)有一个平衡点,即原点(0,0,0):
从上面的方程,得到系统的雅可比矩阵(1):
因此,我们可以获得系统的雅可比矩阵(1在平衡点)如下: 计算矩阵的特征值J,我们有
平衡被认为是一个鞍点的焦点。可以看出,系统的平衡点(1)是不稳定的。
3.3。李雅普诺夫指数和Kaplan-Yorke维度
李雅普诺夫指数是一个重要的参数来衡量一个混沌系统。它通常是用来描述系统运动的特点。其正价值和负价值沿一定方向表明相邻轨道的平均散度和收敛速度的吸引子很长时间了。李雅普诺夫指数小于0时,表明该阶段体积会缩小,系统的运动状态就会很稳定,和系统初始状态不敏感。李雅普诺夫指数大于0时,表明该阶段体积将扩大与相邻的两个轨道将逐渐独立和有越来越多的分歧,因此,系统的运动状态,最终将进入一个混乱的状态。李雅普诺夫指数= 0时,系统处于临界稳定状态。如果系统处于混沌状态,必须有一个李雅普诺夫指数大于零。因此,大小判断,积极和消极的李雅普诺夫指数是否成为一个标准系统进入混沌(22- - - - - -25]。
分析系统的混沌行为1)利用李雅普诺夫指数,参数值(3)和初始条件(4),通过使用MATLAB,我们获得系统的李雅普诺夫指数(1)如下:
由此,系统(1)有三个李雅普诺夫指数:积极的、消极的,和零。系统的最大李雅普诺夫指数(1)是λ1= 0.15。这使得初始条件预测系统的长期行为。系统(1)应提供一个混沌现象与数值模拟一致。
Kaplan-Yorke维度(基德)获得了使用系统的李雅普诺夫指数(1)在以下方程: 在哪里k是一个整数,k+ 1是李雅普诺夫指数的数量。系统的李雅普诺夫指数的数量(1)等于状态变量的数量,也就是说,3。当方程(1)提出了混沌行为,k= 2,λk+ 1=λ3是第三个李雅普诺夫指数(降序)。因此,从方程(18),基德的系统(1)是
4所示。结论
总之,我们画一个图的神经网络模型与特定系数矩阵和分析系统的属性,如平衡点,散度和李雅普诺夫指数。这个结果证明了神经网络不仅混乱,但也有类似的混沌特征与罗斯勒ʼ年代混沌系统在某些特定参数,虽然他们的方程是不同的。这一发现提供了有用的信息,可以应用于混沌Hopfield神经网络的其他方面,如混沌同步与控制。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项工作是由美国国家科学基金会支持的中国(11961021和11961021),广西自然科学基金(2020 gxnsfaa159084),河池大学研究基金会高级人才(2019 gcc005),和科学研究基金会中国广西自治区教育部门(2019 ky0625)。