文摘
在本文中,我们开发了两个新的非线性方程的数值算法寻找零在一维,其中一个是二阶导数免费使用插值技术已被移除。我们得到这些算法的泰勒级数展开和Golbabai Javidi的方法。讨论了这些算法的收敛性分析。建立,新开发的算法有六阶的收敛。几个数值例子证明更好解决这些算法的效率比同类的其他著名的迭代方法。最后,polynomiographs由其他著名的迭代方法的比较与我们开发的算法已经反映了其动力学方面。
1。介绍
的一个主要应用数学和工程科学问题是解非线性方程的形式: 在哪里f是一个实值函数的域是一个开放的连接设置。
这种类型的非线性方程组的解不能直接发现除了特殊情况。因此,我们必须采用迭代方法求解这类方程的类型。在迭代的方法中,我们从最初的猜测x0这是一步一步改进的迭代。
我们假设α是一个简单的零方程(1),x0是一个初始猜足够接近α。
利用泰勒级数x0对方程(1),我们有
如果f′(x0)≠0,我们可以评估上面的表达式如下:
如果我们选择xk+ 1方程的根,然后我们有
这是所谓的牛顿法1,2]root-finding非线性函数,收敛是抛物线。从方程(2),一个可以评估
这是所谓的哈雷的方法(3]root-finding非线性函数,这是收敛的体积。简化方程(2)收益率另一个迭代方法如下:
这就是所谓的户主的方法(4)求解非线性方程组的一个变量,它是收敛的体积。
近年来,大量的迭代方法已经开发使用不同的技术,如分解方法,泰勒级数,摄动方法,求积公式和变分迭代技术(5- - - - - -13)和引用。
为提高收敛,各种改性方法在文献中已经开发出来。他们中的一些人给出了(14- - - - - -18)和引用。
在20世纪,奥斯托夫斯基19]了牛顿法作为预测步骤,提出了一种两步迭代法在第四收敛阶。在那之后,特劳布(12)建议一个迭代计划中他把牛顿法预测和校正步骤,证明了该方法的四阶收敛。努尔努尔,在2007年(13),开发了牛顿法的两步哈雷的方法被作为预测步骤,哈雷的方法校正步骤,然后证明了提出方法第六阶收敛,然后删除它的二阶导数用有限差分格式,建立了一种新的算法收敛第五阶。2018年,Kumar et al。20.)建立了一个基于参数的算法收敛第六阶求解非线性方程。
在本文中,我们提出并分析了两种新的预估类型迭代方法,即算法1和2我们用牛顿法的预测步骤。我们证明这些新开发的算法有六阶的收敛性和最有效的与其他知名的相同的迭代方法。提出的算法应用于解决一些测试实例,以评估其有效性和准确性。在最后一节中,我们产生不同程度的polynomiographs复杂的多项式通过我们提出的算法和比较它与其他方法相同的类别。提出polynomiographs有非常有趣的和审美模式反映了多项式的不同属性。
2。主要结果
让f:X⟶R,X⊆R是一个标量函数,然后通过修改同伦摄动法的基本思想,Golbabai和Javidi21得到下面的方法:
在迭代形式: 这被称为Golbabai和Javidi的方法21]在立方收敛阶。
经过简化的方程(2),可以获得一个
现在从Golbabai Javidi的方法在方程(7),
重写上述方程与牛顿法预测给了我们一个新算法如下。
算法1。对于一个给定的x0,计算近似解xn+ 1通过迭代计划如下:
的修改Golbabai和Javidi与牛顿法作为预测的方法。
为了找到解决给定的非线性方程,我们必须先计算以及函数的二阶导数f(x)。但在一些情况下,我们面临这样一个情况下函数的二阶导数不存在,我们的方法未能找到解决方案。
为了克服这个困难,我们使用近似二阶导数的插值技术如下:
考虑到功能
一个,b,c,d未知是发现与以下插值条件:
四个变量的四个线性方程组是来自上面的条件。解决这个系统给
在算法中使用上面的方程1,我们得到一个新的算法摆脱二阶导数如下。
算法2。对于一个给定的x0,计算近似解xn+ 1通过迭代计划如下: 这是一个新的两步迭代法摆脱二阶导数,在牛顿法预测步骤。借助这种方法,我们可以解决这种类型的二阶导数不存在的非线性方程。也只需要两个函数和它的一个衍生品的评估显示更好的效率,这种方法比那些需要二阶导数。给出了几个例子,证明了该方法的最佳性能比同类的其他著名的迭代方法。
3所示。收敛性分析
在本节中,我们讨论计划的迭代方法的收敛阶。
定理1。假设α方程的一个根吗f(x)= 0。如果f(x)是足够顺利在附近α,然后算法的收敛阶1六。
证明。分析算法的收敛性1,假设α方程的一个根吗f(x)= 0和en是错误的nth迭代,然后en=xn−α,利用泰勒级数展开,我们有
在哪里
。
的帮助下方程(17)和(18),我们得到
使用方程(19)─(22)算法1,我们得到
这意味着
上述方程表明,算法的收敛阶1六。
定理2。假设α方程的一个根吗f(x)= 0。如果f(x)是足够顺利在附近α,然后算法的收敛阶2六。
证明。的帮助下方程(17)─(21)以及相同的假设之前的定理,我们有 使用方程(20.),(21)和(25)算法2,我们得到 这意味着 上述方程表明,算法的收敛阶2六。
4所示。数值例子
在本节中,我们有一些非线性函数来说明我们的新开发的数值算法的效率。我们比较这些算法和努尔的方法(NR1) [22),努尔的方法两个(NR2) [22),奥斯托夫斯基的方法(OM) [19),特劳布的方法(TM) (12哈雷],和修改的方法(嗯)13]。
为此,以下数值例子已经解决:
在这里,我们把 在接下来的停止标准 。数值例子解决了使用计算机程序枫13。
表1- - - - - -7显示的数值比较发达算法与努尔的方法一(NR1),努尔的方法两个(NR2),奥斯托夫斯基的方法(OM),哈雷特劳布的方法(TM),和修改的方法(嗯)。列代表的迭代次数 ,大小的在最后的估计 ,近似根 ,连续两个近似的区别方程和计算的收敛阶(COC)可以近似使用以下公式: 引入Weerakoon和费尔南多(2000)(23]。
表8显示了所需的迭代次数的比较不同的迭代方法与我们开发算法给定的非线性函数的近似根停止标准 。列代表不同的功能的迭代的数量以及初始猜测 。所有计算都使用电脑程序枫13。
5。Polynomiography
多项式是一个最重要的对象在数学的许多领域。多项式root-finding数学历史上发挥了关键作用。它是最古老、最深入研究数学问题。最后一个有趣的贡献多项式root-finding历史是由Kalantari [24介绍了polynomiography]。作为一个方法生成美观的图形,它于2005年在美国被Kalantari专利(25]。Polynomiography定义“的艺术和科学可视化在复杂的零多项式近似,通过分形和nonfractal图像使用数学迭代函数的收敛性质”创建的(24]。个人形象称为“polynomiograph”。Polynomiography结合了艺术和科学两方面。Polynomiography提供一种新的方式来解决古老的问题通过使用新的算法和计算机技术。Polynomiography是基于使用的一个或一个无限数量的迭代方法制定本法的近似多项式的根,如牛顿法和哈雷的方法。
“分形”,部分出现在polynomiography的定义,提出了著名的数学家Benoit Mandelbrot [26]。分形图像和polynomiographs可以通过不同的迭代计划。分形自相似有规模的典型结构和独立。另一方面,polynomiographs有很大的不同。“polynomiographer”可以控制形状和设计更可预测的方式通过使用不同的迭代方法多种多样的复杂的多项式。一般来说,分形图形对象和polynomiographs属于不同的类。Polynomiography有多样化的应用在数学,科学,教育,艺术和设计。
根据代数基本定理,任何复杂的复系数多项式 或其零 的程度有0这可能是也可能不是独特的。多项式的程度描述流域盆地的吸引力和本地化的数量可以由手动放置根在复平面上。通常,polynomiographs彩色基于迭代的数量需要获得近似多项式的根与给定的精度和选择迭代法。polynomiography的描述,它的理论背景,和艺术中所描述的应用程序(7,8,24- - - - - -29日]。
6。应用程序
的数值算法,基于迭代过程中,我们需要一个停止准则的过程,也就是说,一个测试,告诉我们,这个过程已经聚集或非常接近的解决方案。这种类型的测试称为收敛测试。通常,在迭代过程中,使用一个反馈,如root-finding方法,标准的收敛测试有以下形式: 在哪里和在迭代过程和连续两个点> 0是一个给定的精度。还在这篇文章中,我们使用停止准则(32)。图像的不同的颜色取决于到达根的迭代次数与给定的精度 。一个可以获得无穷多好看的polynomiographs通过改变参数 ,在哪里迭代次数的上限。
在这里,我们提出以下的一些示例复杂多项式使用我们开发的算法和比较它与polynomiographs通过使用其他著名的两步迭代方法:
在数据1- - - - - -6,努尔polynomiographs不同复杂的多项式的方法之一(NR1),努尔的方法两个(NR2),奥斯托夫斯基的方法(OM),特劳布(TM)的方法,修改哈雷的方法(嗯),和我们开发的算法已经被证明,描述这些多项式的收敛区域。当我们观察生成的图像,我们可以阅读两个重要特征。第一个是算法的收敛速度,即,the color of each point gives us information on how many iterations were performed by the algorithm to reach the root. The second characteristic is the dynamics of the algorithm. Low dynamics is in areas where the variation of colors is small, whereas in areas with a large variation of colors, the dynamics is high. The black color in images shows that places where the solution cannot be achieved for the given number of iterations. The areas of the same colors in the above figures indicate the same number of iterations required to determine the solution and they look similar to the contour lines on the map.
(一)
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所有这些数据都使用电脑程序生成数学通过 和 在哪里显示了给定的根和精度代表的迭代次数的上限。
7所示。结论
两个新的非线性方程的数值算法寻找零的方法已被开发,有收敛的6。通过使用一些测试实例,提出算法的性能也进行了讨论。数值结果维护的收敛性分析中可以看到表1- - - - - -8。两种算法表现出更好的结果的迭代的数量,效率,相比与其他著名的两步迭代收敛阶的方法相同。Polynomiographs复杂的多项式的不同程度使用两步迭代方法和我们提出的算法已经生成。polynomiographs呈现丰富多彩,非常有趣和审美模式,它反映了我们提出的算法的动态方面。
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的利益冲突
作者没有任何利益冲突。
作者的贡献
所有作者同样对本文亦有贡献。