文摘

设定的最低解决连通图的概念发挥了至关重要的作用在机器人导航、网络、和计算机科学。在本文中,我们调查的价值米和n的 和 在这种情况下连接并找到度量维度。我们还认为,对于每个米,我们得到一个新的普通家庭的常数指标维度。我们也给这些图和表示的基础上解决向量与基底一般的封闭形式。

1。介绍

度量维度的概念和解决集最初起草1953年度量空间(1],p。95年,但没有得到太多的关注,因为标准的线性连续性质欧几里得空间 。后来,斯莱特(2,3)和Harary熔炼工(4)使用这些独特的想法确定入侵者在网络和图形的位置。这个想法也铺平了道路搜索独特的网络上消息的接收器。此后解决集被广泛调查,看,例如,(5,6]。解决集也有有用的应用程序在不同的领域包括网络发现和验证(7),战略策划游戏(8),应用模式识别的问题,图像处理和数字几何(5]。沙特朗等人讨论的可分解性及其与公制尺寸图(9,10]。同样的,在另一个节点,一个现实的问题是研究网络不是集中控制而是分布。所以它变得相对困难和昂贵的获得的地图所有节点以及它们之间的联系。一个可能的解决方案是把网络从不同的本地位置,并将其组合在一起,获得一个好的近似真实网络,(11]。度量维度有一些应用程序在这方面。等人讨论布奇科夫斯基的想法 - - - - - -维图(12]。首先,我们引入通用术语相关的图。

一个图表G是一个有序对 ,在哪里 顶点集和吗 是优势。顶点之间的距离 ,用 ,被定义为之间的最短路径的长度吗 和 ,的直径 ,用 ,被定义为所有顶点对之间的最大距离吗 。一个顶点 解决了一对顶点 如果 。一组顶点 解决了 如果每一对不同的顶点 解决一些顶点在吗 。一组 被称为解决的吗 如果解决了 。一套解决 的 最少的基数叫做度量的基础 ,这个基数的叫做度量维度 用 。现在,它是一种常见的事实 尽管我们可能会有很多度量基地是独一无二的。实际上特定基质的选择基础使我们对独特的图的所有顶点的坐标表示。为一个有序子集 顶点和顶点 在一个连通图 ,的表示 关于 是命令 - - - - - -元组。

很多工作已经进行计算度量维度及其相关的其他变异图的想法。et al。布奇科夫斯基12轮的尺寸计算 和到达的效果 为 。卡塞雷斯et al。13)计算风扇的尺寸图, ,和证明 。Tomescu和Javaid证明贾汗季的尺寸图 是 为 (14]。伊姆兰等人计算循环图的尺寸(15]。侯赛因等人计算边界广义度量和分区维度的莫比乌斯梯子(16]。

在上述情况下,指标维度的图表取决于图中顶点的数量。相比之下,一个是感兴趣的列表所有家庭的图表公制尺寸保持不变,似乎是一个家庭的重要特征。作者在17,18]讨论了图的一些家庭常度量维度。另一个方面是公制尺寸图,是某种产品的两个图表。常感兴趣相关的产品的尺寸图和组件的尺寸图。两个图的笛卡儿积 和 ,用 是一个图的顶点集 是笛卡儿积 作为一组,任何两个顶点 和 在相邻的 当且仅当 和 是相邻的 在 或 和 是相邻的 在 。图的笛卡儿产品的指标维度研究(19]。作者证明了公制尺寸 是绑在一个强烈的最低订购一套所谓的双重解决的吗 。作者也计算出了界限 对于许多的例子 和 。作者在20.)递归地定义广义电晕派生产品和一些重要的结果关于这个产品的组件的维度,而在21),作者计算强度量维度的电晕的产品。另一个产品是张量积, 的图 和 这是一个图的顶点集吗 是笛卡儿积 ;任意两个顶点 和 在相邻的 当且仅当 是相邻的 和 是相邻的 。例如,的张量积 与 是。

Moradi讨论一些图的张量积22]。Jannesari词典产品和Omoomi计算度量维度的图形称为邻接维度,通过引入一个新的参数(23]。Saputro等人进一步扩展这些结果对于其他图表(24]。Javaid等人计算度量维度co-normal产品图的(25]。

在本文中,我们讨论 - - - - - -张量积的副本 与 和 。这种类型的产品是相对较少的研究在文献中比笛卡儿积。在第一阶段,我们决定对这个产品的连通性。在第二步中,我们计算的度量维度它们之间的连接图。我们喜欢评论的度量维度两个图的张量积并没有被广泛地研究过了。

2。主要结果

我们首先关注 。计算最小解决集允许 作为两个顶点之间的距离时,不存在任何路径连接他们的不同组件图。的值是有趣的问题 的图 是连接。然而,答案是没有。的存在 的任何组件解决向量清楚地表明,图是断开连接。虽然我们不能谈论度量维度在这些情况下,但基数最低可移动性的意义,因为它显示了一个图的连通性。我们给所有顶点的封闭表示对我们的选择指标在每种情况下基础。

定理1。(我) 和 是断开连接(2)解决最小集的基数

证明。让 ,在哪里 是顶点 和 的顶点 的K组件。我们表明, 是一套解决。为此,我们给的表示的顶点吗 关于 : 现在,我们考虑解决的极小性。如果我们删除 从 ,然后 。所以,基数最低可恢复性 是 。

例1。如果 和 ,然后 和 和解决向量与尊重 是 现在,我们把我们的注意 。与上面的结果,我们这里有一个有趣的结果。为 和 ,我们的图连接。此外,我们也为度量维度在这种情况下。

定理2。(1) 。(2)最小解决集的基数: (3) 连接敌我识别 和 。

证明。(1)让 设置顶点, 顶点的 和 和 是相邻的顶点 。我们表明, 是一套解决。为此,我们给的表示的顶点吗 关于 : 我们可以看到,所有的代表都是不同的,这意味着 。现在,我们证明 是一组最少的解决。如果我们把 ,我们收到两个类似的解决向量: ,这表明维度不是1。所以, 是2。
(2)案例1(当n是奇数):我们计算解决矢量的一般形式。
让 ,在哪里 顶点的 和 和 顶点的 。我们表明, 是一套解决。为此,我们给的表示的顶点吗 关于 : 在哪里 , ,和 。
我们可以看到,所有的代表都是不同的,这意味着 。现在,我们证明 是一组最少的解决。如果我们删除吗 从 ,我们收到两个类似的解决向量: ,在哪里 出现在 位置,显示 是最小的解决向量。

例2。如果 和 ,然后 和 。 和解决向量与尊重 是

备注1。上面的例子和图片显示,图是断开连接。这通常适用于这种情况。
例2(当n甚至):让 。我们表明, 是一套解决。为此,我们给的表示的顶点吗 关于 。当 , ,和 , 当 , 当 , ,和 , 当 如果我们删除 从 ,我们收到两个类似的解决向量 ,在哪里 出现在 位置,显示 是最小的解决。
(3)从上面的解决模式,我们可以认为这个结果的出现 在任何地方。

备注2。相同的结果可以证明22)的协议,两个图的张量积当因素都是由两部分构成的,连接的连接。

例3。如果 和 ,然后 和 和解决向量与尊重 是

3所示。结论

最后,我们总结我们的主要结果。首先,明显是脱节的 。本文的总和和物质的连通性 为 和 在这种情况下和公制尺寸是2。所以,我们获得一个普通的家庭与常数指标维度2图,可分解成路径和周期。从网络的角度来看,这个家庭是重要的。然而,对于剩下的家庭,我们能找到最低解决集及其基数。我们结束这篇文章

数据可用性

没有数据被用来支持这个研究的发现。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者的贡献同样写这篇文章。所有作者阅读和批准最终的手稿。

确认

这项研究是由安徽大学自然基金重点项目:研究基于泰森多边形法图的图像语义提取和优化模型和随机图(KJ2013A327)和智慧教室项目在合肥师范大学校级质量工程:应用现代教育信息技术(2018 zhkt10)。