在Banach空间皮卡德-Krasnoselskii不混合迭代过程

抽象

在这项研究中，我们证明了一类映射的，这比上通过皮卡德-Krasnoselskii不混合迭代过程的Banach空间铃木扩张映射的更一般的强，弱收敛的结果。用一个数字例子中，我们证明了比两者的Picard和Krasnoselskii不重复处理的速度越快皮卡德-Krasnoselskii不混合迭代过程收敛。我们的研究结果是延伸和文学的众多知名结果的改善。

1.简介

映射上一个子集Banach空间的被称为非扩张如果

一个点 被称为固定点的前提是 。我们表示固定的点集通过 。该集不为空，如果非空闭凸界和是一致凸（参见[1-3]）。

2008年，铃木[4]广义这个概念如下。映射上是说满足条件(C)(或铃木映射)如果为所有 ，

近日，Patir等。[五]扩展的（C）条件如下。映射上说是满足条件吗如果存在 和 满足 这样，对于每个 ，

他们还发现，如果一个映射满足（C）条件下，那么它满足条件但反之则不是一般持有。

让是Banach空间的非空子闭凸子集 ， 是一个映射， ，和 。

公知的Picard [6]和Krasnoselskii不[7]迭代过程，分别定义为

2017年，Okeke和阿巴斯[8]所考虑的皮卡-Krasnoselskii不混合迭代过程如下：

他们证明了皮卡德 - Krasnoselskii不混合迭代（6）收敛比所有皮卡德的更快（4）和Krasnoselskii不（五）处理用于收缩映射。我们在映射的常规设置研究这一过程。我们建立了一些弱和强收敛性与状态映射 。在最后一节中，我们给出一个映射示例其中满足条件但不是（C）和比较皮卡德-Krasnoselskii不迭代，皮卡德迭代和Krasnoselskii不迭代的收敛速度。

2.预赛

让是Banach空间。我们说是一致凸[9]，条件是任何 ，有一个 对于任何 同 ， ，和 ;它遵循

我们说满足Opial的财产[10]，条件是任何在哪些是弱收敛的 并为所有 ，有人

定义1。让是Banach空间的非空子集 ， 在是有界的，并 。的渐近半径关系到是集 。此外，渐近中心关系到是集 。
我们知道这个集合 当底层空间是一致凸巴拿赫时，是单元素的。同时, 非空以及凸每当是弱紧和凸（参见，例如，[11，12]）。

引理1。（见[五]）。让是Banach空间的非空子集和 满足条件。如果是一个固定的点 ，然后为每个 ， 由引理1，我们得到以下事实。

引理2。让是Banach空间的非空子集 。让 满足条件 。然后，设定已关闭。此外，如果严格凸是凸的，则也是凸的。

定理1。（见[五]）。让是Banach空间的非空子集而产生的财产。让 满足条件 。如果是序列中这样（一世） 收敛弱到 ，（ⅱ） ，然后 。

命题1。（见[五]）。让是Banach空间的非空子集 。如果 满足条件上 ，那么对于所有 和 ，（一世） （ⅱ）至少 （ ）和（H）成立（G） （H） 条件 （ ）暗示 和条件（H） 暗示 （ⅲ） 我们需要从以下有用的引理[13]。

引理3。让是一致凸巴拿赫空间 对于每 。如果和在两个序列这样 ， ，和 对于一些 ，然后 。

3.主要结果

下面的引理将在即将到来的结果中。

引理4。让是Banach空间的非空子闭凸子集 。假设 满足条件和 。如果是一个序列由下式定义（6）， 然后存在于每一个 。

证明。假设 。由引理1， 我们有 这意味着 从而，是有界的和非递增的。因此，存在于每一个 。

定理2。让为一致凸巴拿赫空间的非空闭凸子集 。假设 满足条件然后让来的序列由下式定义（6）。然后， 当且仅当为界与 。

证明。我们假设 。由命题1（iii）中，对 ， ， （由命题1（一世）） 所以， 。但 是单身，和我们有 。因此， 。
相反，让 。由引理4，存在。假使，假设 。我们首先证明 。由引理的证明4， ;因此， 所以 。
再由引理的证明4， 。因此， 。因此，我们得到 。同时,由引理1， 。它遵循 。由引理3， 我们获得 现在，我们在建立一个弱收敛的位置被定义为 （6）为类与条件的映射 。

定理3。让一个非空闭一致凸Banach空间的凸子集与Opial性质。假设 满足条件和 。然后，被定义为 （6）弱收敛到的元素 。

证明。由定理2，为界与 。自是一致凸，是自反。因此，我们可以找到一个子的这样弱收敛一些 。由定理1， 我们获得 。这足以证明，收敛弱到 。事实上，如果不收敛弱到 ，然后我们可以找到一个子序列的和 这样收敛弱到和 。因此， 由定理1。Opial条件和引理4给我们 这是一个矛盾。所以， 。

定理4。让为一致凸巴拿赫空间的非空闭凸子集 。假设 满足条件 。如果 和 ，哪里可以在序列由下式定义（6）， 然后强收敛到一个固定的点 。

证明。由引理4，存在，每个 。从而， 存在。因此， 我们可以找到一个子的和在同 ， 。此外,由引理的证明非增4。因此， 我们将证明是在柯西 。 这表明序列是在柯西 。由引理2，已关闭。因此， 对于一些 。由引理4，存在。因此，证明结束。
最后，证明了序列的强收敛性定理被定义为 （6）与条件的帮助（一世）。

定义2。回想一下，自映射上Banach空间的子集，所述为满足条件[14]当且仅当存在 满足 和 对于每 这样

定理5。让为一致凸巴拿赫空间的非空闭凸子集 。假设 满足条件和 。如果满足条件 ，然后被定义为 （6）强收敛到一个固定的点 。

证明。由定理2， 我们有 通过条件（一世）， 我们获得 这个结论是从定理中得出的4。

4.数值实施例

在本节中，我们比较与映射的一般设置皮卡德和Krasnoselskii不重复皮卡德-Krasnoselskii不混合迭代过程的收敛速度。

例1。让 与通常的标准赋。组 如果 和 如果 。如果 和 ，然后 但 。因此，不满足条件（C）。然而，满足条件 。的情况下 是微不足道的并且因此省略。我们认为以下两种情况平凡。
什么时候 ，我们有 什么时候 和 ，我们有 选择 ;序列的强收敛性由Picard-Krasnoselskii杂交过程定义(6） 至 可以在表中可以看出1。

备注1。从表1图1，我们观察到皮卡德-Krasnoselskii不混合迭代过程收敛比皮卡德和Krasnoselskii不迭代更快的类条件映射 。

数据可用性

没有数据来支持这项研究。

的利益冲突

作者宣称，他们没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者在撰写这篇文章时都做出了同等且显著的贡献。所有作者阅读并批准了最终的手稿。

致谢

Thabet Abdeljawad要感谢苏丹王子大学应用数学（NAMAM）的资助，研究小组非线性分析方法这项工作（不群。RG-DES-2017年1月17日）。