文摘

由于数值计算和数学建模的必要性,本文着重于稳定性的最优轨迹最优控制问题。的基本思想和技术都是基于最优轨迹的密实度和集值映射定理。通过最优控制缺乏稳定性,通用稳定最优轨迹的结果是获得的扰动下右边的功能状态方程;的贝利类别,右边的功能状态方程的最优控制可以用其他函数近似。

1。介绍

由于数值计算和数学建模的需要,我们将考虑最优轨迹的影响与改变右边的功能状态方程的近似函数。有许多专家已经做了很多工作在稳定的最优控制问题(1- - - - - -4),尤其是在右边的扰动函数,讨论了最优控制的稳定性(5- - - - - -7]。然而,在实际的问题,真正的决定性因素的最优控制问题是稳定性的最优轨迹,有时,最优控制不一定收敛;轨迹收敛时,相应的控制不一定收敛。因此,探讨了稳定在这些情况下,关注两个问题:首先,可行轨迹对应的密实度右边函数的扰动状态方程的讨论,然后,讨论了最优轨迹的密实度。第二,最优轨迹的稳定集对应于右边的扰动函数进行了探讨。

P,考虑Bolza问题,问题如下:

找到一个最佳的一对 这样成本功能 达到最低, ,容许的一对下面是解非线性控制系统:

在这里, 和 是所有容许对的集合,定义的组容许控制 在哪里是一个度量空间。

为了讨论最优控制问题(P),让我们先从一些基本假设:(H1)终端 是固定的,和度量空间紧凑。(H2)的函数 是可以衡量的关于 ,连续有关 。存在 这样 (H3)功能 满足以下Filippov-Roxin条件:一组 几乎所有凸和关闭吗 和所有 (H4)功能 是波莱尔可测有关 和连续 ,和 是连续的。

在假设和从8),方程(2)有一个独特的解决方案。同时,方程的解决方案(2右边)取决于连续函数和初始数据是可微的。

本文组织如下。在一个部分中,我们构建的完备度量空间f满足的条件(H2-H3)并讨论可行的密实度轨迹。在第二部分,我们考虑最优轨迹的稳定的贝利类别。在上一节,我们举个例子和结论。

2。最优轨迹的密实度

目的考虑稳定性的最优轨迹,首先,我们需要一些概念。

让

为每一个 ,定义 那么我们知道空间 是一个很容易完备度量空间。

集 然后,对应 是一个集值映射;为了方便讨论,我们扩大的范围成 ,在哪里 所有可行轨迹的最优控制问题(P) ,我们表示的集值映射 。

现在,我们考虑可行轨迹的属性集 ;我们有下面的定理。

定理1。假设假设(H1)和(H2),那么可行的轨迹 相对紧凑的 。

证明。的假设(H1)和(H2),方程(2)有一个独特的解决方案 ,和解决方案是用 。由于假设(H2),它遵循 也就是说, 这意味着可行轨迹 是一致有界的。
此外,我们获得 因此, 也就是可行的轨迹 是等度连续的。
从(7)- (11),由Arzela-Ascoli定理,证明这个定理。

定理2。如果假设(H1)、(H2) (H3)和(H4)满意,可行的轨迹 紧凑的 。

证明。让 和的解下列方程: 在假设(H1)——(H4)和 。让 和假设 接下来,我们需要证明 。
假设 在哪里 ,我们有 。Mazur定理,存在凸组合 ,这样 (H2)和(13),我们有 考虑 Filippov引理,存在 这样,(17)是满意的,即 成立。

3所示。最优轨迹的稳定性

在本节中,我们将讨论基于最优轨迹的稳定的贝利类别。

定理3。让(H1)——(H4)举行 为每一个 。

证明。对于任何固定 ,让 ,我们有 ;的密实度 ,存在 ,这样 。
我们的假设(H4) 也就是说, ,所以是连续的有关 ;自 是一个紧集的最小值的存在。然后, 为每一个 。

定理4。让(H1)——(H4),和关闭为每个 。

证明。的密实度 ,接下来,我们表明, 是关闭的。取 与 和 与 ;首先,我们需要展示 。
由于 ,对所有 ,我们有 通过(H4),我们看到 对于任何固定 在控制系统中,我们获得 从上述方程,为所有 ,的不平等 成立。也就是说, 和是关闭的。
自 是关闭, 是一个紧集,我们有如下定理。

定理5。让(H1)——(H4),和紧凑为每个 。

定理6。让(H1)——(H4),然后,上在每个半连续吗 。

证明。假设不是上断断续续的;然后,存在开集 , ,和 ,这样,一些 ,但 ;事实上,密实度,存在一个子序列的这样 。自是一个开放的设置和 ,然后 ;我们有 ,但 ,这与 。我们证明了这个定理。
因此,集值映射 引理4.2的紧凑上半,(6),定义3.1 (5],定理4.7的7),因此,我们可以获得稳定的定理。

定理7。存在一个密集的剩余子集的 ,这样,对于任何 , 是稳定的分离指标。

备注1。由定理7,如果 ,可以近似最优控制问题的贝利类别。

备注2。我们考虑到成本的功能 包含隐式。即功能成本 ,我们需要让 然后,我们可以将成本功能 ,和稳定性的讨论类似问题(P)。

4所示。例子

考虑最优问题 系统主题 在哪里 和 在哪里 和 。

一个可以很容易地显示满足的假设 。(1)让 。然后,对任何 , 我们有 。也就是说, 在最优轨迹 (2)让 ,对于每一个 ;我们有 ,在哪里 和 。

然后, 在最优轨迹

很明显, 作为 和 。

5。结论

本文的缺乏良好的属性条件下的最优控制,我们讨论的密实度可行轨迹设置右边函数时控制系统的干扰,给一个合适的度量空间的右边的功能。结合给定的假设,是一个完备度量空间的空间。然后,根据紧凑上半连续集值映射,最优轨迹的连续依赖性在右手功能和成本的稳定功能在右手函数得到的贝利类别。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

作者的贡献

概念、方法、形式分析、监督和草稿准备被邓Hongyong执行。验证、审查和编辑是由Hongyong邓,(音译),长春沈。

确认

作者感谢魏魏教授有益讨论这个问题。这项工作是支持的科技项目批准号下的贵州[2016]1074;下的贵州大学基金项目批准号YJRCXM [2018] 019;和科技的基础下贵州格兰特LKM[2013] 21号和J [2015] 2074。