具有图的拟度量空间Száz原理上的caristi型不动点定理

摘要

本文利用Száz极大值原理，推广了具有自反有向图的k完备拟度量空间中的Caristi不动点定理。最后给出了一个例子来支持我们的主要结论。

1.介绍

让是非空集。二元关系“”据说是预定的吗如果它是自反的和及物的。在这种情况下称为预定集。一个元素是最大的如果对所有，一组是由．

2007年，Á。萨兹（见附件）[1将Brézis-Browder原理推广到预定集的集合中，给出了卡里斯蒂定理的一个推广版本。

定理1 (Száz [1])。让是一个预定的集合是一个功能满足:(S1) 减少;(S2) 对所有；(S3) 对于一些；(S4)对于每个非递减序列与，存在一些这样对所有和；(S5) 对所有与．则存在一个极大元．

1976年，Caristi(见[2)给出了巴拿赫收缩原理的推广，其中假设是连续的”，被一个弱的假设代替。从那时起，许多作者给出了各种证明、扩展和概括(参见[3.- - - - - -7])。值得一提的是，Caristi不动点定理等价于Ekeland变分原理[8]．

在这篇工作中，我们利用Száz原理给出了拟图空间中Caristi不动点定理的一个更一般化的版本。为此，我们引入了一个新的函数类，称为 -功能和 -这些函数推广了卡里斯蒂定理中支配函数的概念。在集值映射的框架中给出了一个改进的结果，并导出了一些已知的结果作为推论。

2.预备赛

定义2。让为非空集合;一个函数是准距离吗（1) 当且仅当（２）为每一个．这一对称为拟度量空间。

自从在这样的空间中不一定满足，在这个设置中有许多关于完整性的描述(例如，[9])。根据[8，我们有以下几点。

定义3。一个序列在是（1)离开了K-Cauchy 存在这样，与，；（２）离开K-converges ，如果；（3) 如果任意左K-Cauchy序列是左k收敛的，则称为左k完备拟度量。

定义4。让是准度量空间。一个映射据说是（1)如果给定任意序列，则为下半连续在，每当和，然后；（２）上半如果断断续续的低。

在后面的文章中，我们回顾了从[10]．

让是任意的集合。有向图是一对在哪里是笛卡尔积的子集吗．的元素的顶点或节点以及这些边，也叫有向边或有向弧．形状的边缘是一个循环．另一种表达方式是是说二元关系结束了吗．给定一个有向图，的顶点(分别是边)的集合用(分别 )．的有向图据说是(我)传递,如果当和，然后；(2)反射性的,如果是．

一个顶点是孤立的，如果对所有顶点，我们既没有也不．给定两个顶点．一个路径，从(或连接)来是顶点序列吗，这样，和，对所有．整数是路径的长度吗．如果和，的路径称为有向循环。无环有向图是没有有向环的有向图。

我们表示事实上，有一条直接的路径加入来．

quasimetric空间有向图的这样用．

在[4，我们使用下面的。

定义5。让是一个具有有向图的拟度量空间。我们说如果为任何序列，则满足属性(OSC) 它收敛于和所有，，然后对所有．

让是一个自反有向图，一个函数．在脑海中为每一个，大多数主要的Caristi功能满足以下条件：(C1)N-superadditivity: 和为每一个与和．(C2) 上半连续吗．(C3)存在这样．(C4)存在一个函数这样，对所有人来说，

接下来，我们引入一个新的函数类。

定义6。让是自反有向图；实函数据说是(我) -function if (C1)， (C2)， and (C3) hold。(2) -功能if (C1)， (C2)，和(C4)保持。

注7。显然,每个 -函数是一个 -函数。事实上,让．然后为每个，我们有这意味着

3.主要结果

让是一个具有有向图的拟度量空间。定义上的二元关系通过我们将特别使用以下事实。

引理8。让是一个具有有向图和的拟度量空间满足条件(C1)的函数;然后是一个预定的拟度量空间。

下面的结果是对Caristi定理在具有图的拟度量空间中的推广和推广。

定理9。让是具有满足(OSC)性质的自反有向图的左k -完备拟度量空间集值映射。如果存在 -函数这样对于每一个，存在与，然后有一个固定点吗．

证明。首先，我们证明了对于每个递增序列关于在哪里，存在这样对于每一个我们得到了
根据定义，我们有；因此, 然后是实收敛序列吗．和左K-Cauchy序列在哪里自是收敛的。然后,左K-收敛到某个值属性(OSC)保证了这一点对所有．
注意，对于每一个与，我们得到了哪个是左k收敛的上半连续性，我们有．然后, 和对所有，导致因此,(S4)。
定义一个函数为每一个通过是不是非负函数，有这样；然后也就是说(S2)成立。
如果；也就是说,( ），然后，这意味着(S5)。
让；然后为每个，我们得到了由于，我们有然后也就是说, ，这意味着是nonincreasing函数;即(S1)成立。
Száz原则的所有假设都成立;然后有一个极大元．根据假设，存在这样；然后我们得到，这意味着

我们用下面的例子来支持我们的结果。

示例10。考虑到有向图表示在图1,在那里定义上的的quasimetric详情如下: 考虑到 -函数定义为以及集值映射定义为可以看出(我) 对所有．(2)对所有与，我们有．(3) 这是一个完整的左边 -拟空间。(iv) 显然是 -函数。(v)对所有，存在这样定理的所有假设9感到满意, ．

推论11。在定理假设下9, 是否只有一个单值映射和所有，然后有一个固定点吗．

使用的话7，我们立即有以下。

推论12。在定理假设下9,如果是一个 -函数,那么有一个固定点吗．

下面的定理改进了[2，11，12并推广了Chaira等人的主要定理[4］

定理13。让是具有满足（OSC）性质的自反有向图的左K-完全拟量空间，且下半连续函数。如果映射满足, ，然后有一个固定点吗．

证明。我们考虑这个函数定义为很明显是一个K-function。应用定理9，证明是完整的。

数据可用性

没有数据支持这项研究。

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

工具书类

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