文摘

这项工作考虑混合解决方案方法time-fractional扩散模型1和2的立方非线性源项维度。狄利克雷和诺伊曼边界条件都是考虑每一维的情况。混合方法包括拉普拉斯变换在时间域数值倒,和切比雪夫搭配在空间域因为它增加了精度标准的有限差分离散化。由于分数阶导数我们只能比较此方法的准确性Mathematica的NDSolve整数的衍生品;然而,详细讨论的优缺点提出杂交。应用程序通过有限差分离散化图像处理包括为了证实此方法的应用。

1。介绍

这项工作检查的性能混合拉普拉斯transform-Chebyshev搭配技术应用于time-fractional扩散方程在二维非线性源项: 在哪里 该模型探讨了主题狄利克雷和诺伊曼边界条件的有限域 满足所需的域切比雪夫多项式与初始条件 。这种方法受益于拉普拉斯变换的解析性和高效的数值反演变换,一个精确的离散化方法通过切比雪夫搭配,和一个收敛的线性化技术,结果在一个健壮的方法求解非线性time-fractional偏微分方程在有限域。方法详细的雅各布斯和哈雷(后1,2)我们也采用有限差分离散化将这种方法应用于图像。这是进一步阐述了部分5。

最近部分衍生品和部分偏微分方程(fpd)收到高度重视分析和应用程序(参见[3- - - - - -5)和引用)。尽管如此大的努力,一直很少关注解决fpd有限域通过转换技术。Agrawal [6利用拉普拉斯变换和有限的正弦变换来获得一个分步扩散波方程解析解有限域。其他技术如变分迭代法、Adomian分解方法,微分变换方法都应用于部分偏微分方程,但是关注的领域。最近Hashemizadeh和Ebrahimzadeh [7Zaky等。]和[8]目前解决线性和非线性time-fractional克莱因戈登方程,分别。他们的解决方案是通过使用一个操作矩阵方法和勒让德多项式插值。

线性扩散模型已经应用在许多不同的领域包括图像处理(9- - - - - -14]。然而,最好的作者的知识,time-fractional偏微分方程的应用尚未彻底检查了在这样一个背景下。从应用的角度来看一个分数偏微分方程图像,我们检查time-fractional扩散方程在两个维度。在最近的一篇论文雅各布斯和Momoniat [15,16)表明,这种非线性源项的扩散方程能够binarize文档图像取得了巨大的成功。在这个概念延伸到分数阶导数,我们寻求保持扩散方程的对称性。的值 subdiffusion解决扩散方程,保持对称和展示一些有趣的动力学稍后讨论这个工作。的值 介绍然后打破对称传输效果。正是因为这一原因,我们强加的限制, 。

在这个工作我们利用拉普拉斯变换,使我们能够处理的分数阶微分代数方法,这样做不会产生错误。反演的拉普拉斯变换是很难获得分析。因此,我们充分利用数值反演过程的描述Weideman和Trefethen [17)定义了一个轮廓的集成映射域的布罗姆维奇从整个复杂的空间到真正的空间,我们可以用梯形近似积分的规则。

拉普拉斯反变换一个健壮的方法我们可以杂交的变换离散化技术。时间变量的拉普拉斯变换避免了需要一个呢计划以及降低了分数阶微分代数表达式。转换的模型然后离散切比雪夫搭配的使用由于其优越的性能有限的差异见(1,2]。由此产生的系统解决和变换倒获得semianalytic解决方案,连续时间和离散的空间。

在下一节中我们提出一些初步的结果是整个论文的投入使用。节3描述的实现方法,包括边界条件的不同情况。部分4介绍了该方法获得的解决方案,以及与一个错误Mathematica的NDSolve一和二维情况下的模型以及狄利克雷和诺伊曼边界条件。节5我们提供这个方法和模型的一个实际应用的文档图像二值化,说明能够获得有用的结果与目前的方法加上有限差分离散化。结果和他们的关系的讨论超出了本研究提出了部分6和一些结束语部分7。

2。预赛

在这个工作我们采用卡普托的分数阶导数的定义Riemann-Liouville导数因为卡普托利用导数的物理边界条件,而Riemann-Liouville需要分数阶导数边界条件。

定义1。Riemann-Liouville积分 的一个函数是

定义2。的分数阶导数根据卡普托定义 ,是

如果 卡普托分数阶导数减少,普通微分或积分。Podlubny [4)说明了取悦卡普托导数的拉普拉斯变换的性质,我们可以看到在5)。在我们的例子中, 我们有 这个属性允许将分数阶微分代数。

定义3。广义米塔格-莱弗勒函数的参数是

利用拉普拉斯变换允许绕过时域离散化中出现的问题。然而,使用分数阶导数的拉普拉斯变换提出了反相转换的问题找到一个解决方案。分析反演的变换是不可行的,因此数值方案评估的布罗姆维奇积分Weideman和Trefethen [17)是广泛使用。布罗姆维奇积分的形式 在哪里是收敛横坐标。利用抛物型保形映射 (7)成为 然后可以近似梯形规则简单,或任何其他正交技术,是吗 在抛物线轮廓的指数因子(7)部队迅速衰减被积函数使其适合正交。剩下的就是选择参数和优化是通过渐近平衡截断误差和离散化误差的尖端。描述的方法通过Weideman和附近Trefethen达到最优结果(见[17)和数字在其中)和感兴趣的读者是有彻底的实现方法的描述。在这个工作我们利用抛物线轮廓由于易用性和双曲轮廓只有展品抛物线轮廓提高性能。

3所示。方法

本节介绍了之前提出的方法用于二维模型。我们可以写我们的模型 拟线性化技术可以视为广义牛顿迭代方法在功能空间。构造一个迭代计划创建一个序列线性方程组近似非线性方程(11)和边界条件。此外,这一系列解决方案和单调[平方收敛18- - - - - -20.]。的准线性形式 在哪里表示连续的指数近似。此外, 是完全明确的指标吗 。的系数 和 如果元素 索引的 ,然后对th的拟线性化迭代 因为上面第一项满足(11),它被替换为0 方程(12)现在可以改变了拉普拉斯变换,得到一个线性算子 在哪里 方程(17)可能是离散切比雪夫搭配,在以下部分中描述。

3.1。切比雪夫搭配

切比雪夫多项式形式的基础因此我们决定的领域PDE 。我们注意到这里,然而,任何领域可以非常畸形的比赛吗 。我们的空间域离散化使用Chebyshev-Gauss-Lobatto点: 鉴于这种空间离散化的选择,我们有 , , , ,这表明域实质上是逆转,施加边界条件时必须特别小心。

在映射我们的域我们可以假设 ;也就是说,我们有equal number of collocation points in each spatial direction. We now define a differentiation matrix : Bayliss et al。21)描述一个方法减少舍入错误发生在高阶微分矩阵的计算。因为我们写 ,我们实现的方法,描述了在21),为了减少舍入误差的传播空间的二阶导数。

的导数矩阵方向 在哪里切比雪夫分化矩阵的大小吗 。

因为我们认为 ,我们推导出的属性 和 。

写作的离散化(17以矩阵形式)的收益率 在哪里 通过扩大(22在求和符号), 为 。通过提取第一个和最后一个在资金方面,我们获得 为 。我们使用的形式(25施加边界条件。

解决方案 , ,这是未知的内陆点的矩阵 ,可以通过求解系统 在哪里是内陆点的矩阵呢和是内陆点的矩阵呢 ,这和匹配的尺寸 。我们也使用表示两个矩阵之间的阿达玛的产品。也 为 。

3.1.1。狄利克雷边界条件

边界条件可能狄利克雷条件的形式, 因此, 的参数 , , ,和可能是时间变量的函数的一个空间变量;也就是说, 。我们假设 , , ,和是常数。

狄利克雷边界条件可以直接取代了(28)和(29日)(25),并收集所有已知的条款 。

3.1.2。诺伊曼边界条件

另外诺伊曼边界条件 与,

诺伊曼边界条件由(30.)离散 类似的方程(31日) 通过提取和第一个和最后一个条件,离散可以写成 和 然后这些线性系统解决方案代入方程(25)。

4所示。结果

在本节中,我们只考虑结果的切比雪夫搭配由于巨大的准确性得到增长有限差分方法,提出了作者在1,2]。

4.1。示例1

第一个例子,我们考虑的是 狄利克雷边界条件与初始条件一致, 表1说明解决方案之间的最大绝对误差得到当前获得的方法和解决方案NDSolve在Mathematica 9为 。最好的作者的知识,不存在精确解对于分数的情况,因此,不能相比。

然而,我们目前的图1这说明了解决方案的中点的行为随着时间的演化为各种价值观的 。

4.2。示例2

我们现在考虑一维情况下与初始条件 和诺伊曼边界条件 再一次我们的解决方案是收敛的从5到10但不继续改善。表2介绍了错误在我们的方法相比NDSolve为 。我们现在的中点的行为 为不同的值随着时间的发展在图2。

4.3。示例3

这个例子考虑二维初始条件 和一致的狄利克雷边界条件称为 表3介绍了错误在当前方法相比NDSolve。图3描述了二维空间中点的演变与时间不同值。

4.4。示例4

最后,我们考虑的情况下二维初始条件诺伊曼条件, 和 这个例子相比的错误NDSolve展示在表4。图4描述了二维空间中点的演变与时间不同值。

5。图像处理应用程序

尽管准确获得的切比雪夫搭配小的值 ,患有严重的舍入方法的误差值 由于有限精度算法(22,23]。在这个方案应用到一个图像,输入图像的尺寸决定的解决方案,而且在大多数情况下,输入图像尺寸将超过100。这迫使我们使用有限差分离散化方案,而不是描述的切比雪夫计划雅各布斯和哈雷(2]。雅各布斯和Momoniat15]目前结果的整数阶模型应用到一个图像文档图像二值化的目的。我们在座的一些示例使用hybrid-transform方法获得的结果。hybrid-transform方法的力量在于能够立即确定解决方案在任何时间,而不是需要一个给定的时间点上进行迭代。图5说明了解决方案,给定一个输入图像,在不同的时间点。图6显示了分词的影响对结果图像,在稳定状态已经改变以及瞬态阶段被执行得更快。这反映了影响体现在上面的例子中,数字1,2,3,4,方程的稳态变化值的改变以及更快达到一个稳定状态方程。这说明导数的顺序可能被用作一个额外维度的控制在图像处理中,一个较小的地方价值实际上照亮的背景图像;它还减少了稳态模型的扩散系数通过改变远离均匀扩散的图像。

例如,如果我们把 然后稳定标准标准呢计划 。作为减少从1,变得如此之小,所需的迭代次数达到的最后一次 是难解。这进一步证明了使用hybrid-transform方法在图像处理中的应用。

5.1。应用实例

我们在座的一个文档图像二值化应用程序,输入噪声图像以及墨水渗滤背面的页面。我们所寻求的解决方案形象有黑色像素表示文本和白色像素的其他地方。图7说明了输入图像以及由此产生的不同值的二进制图像以及地面实况图像,我们可以定量测量结果。的规范作为误差测量,提出了在不同的时间点在图8。由于不断变化的我们必须规范化的时间值,准确比较目前的方法在不同的性能值。由于加速收敛到稳定状态的变化 ,节中的示例所示4,我们注意到 结果在一个最优加工图片,支持部分偏微分方程在图像处理中的应用。

6。讨论

上述结果表明强收敛和增加一个解决方案 。类似的结果 是由于两种数值方法之间的比较受到可能不同于真正的精确解。结果在1]表明,目前的方法是与一个精确解相比,准确度增加显著增加 。尽管如此,目前的方法达到结果类似于一个行业标准,NDSolve,这是令人鼓舞的。

数据1,2,3,4表明subdiffusive过程的动态行为。有趣的是扩散过程变得越来越激进减少从1到0;然而,最终的“稳态”通过这些过程通常是严重低于标准的扩散模型。在图像处理方面我们可以实现semidiffused结果极其迅速通过选择小,而不是使用 长期和传播。

在一和二维情况下,诺伊曼边界条件问题导致两个数量级的准确性比狄利克雷的情况。在线性情况下,精确解存在,目前的方法的准确性大幅增加而增加(2];然而,由于受到另一个数值方法相比,NDSolve,自由结束影响比较解决方案,而不是强化条件在狄利克雷边界的情况。

7所示。结论

除了获得精度高,目前的方法是可靠的 ,实际上是完全从time-fractional偏微分方程变换到偏微分方程或微分方程根据维度。发生的错误然后离散误差和数值反演的布罗姆维奇积分 (17]。

这种方法的应用图片介绍计算障碍,因为图像的分辨率决定了空间离散化分辨率。转换后必须解决一个线性系统的输入图像的尺寸一样。这是加剧了切比雪夫搭配的使用,因为导数矩阵是完整的,而不是三对角或带状,因为它们使用一个标准的有限差分方案时,托马斯的算法可以使用在18- - - - - -20.]。在这种情况下,应采用数值方法,提高大型输入数据所需的计算时间。切比雪夫搭配方法也有很大的舍入误差大的问题, 由于有限精度(22,23]。另外,对于大型系统有限差分离散化可以用来加速计算时间的准确成本的解决方案。我们已经表明,例如,通过雇佣hybrid-transform方法获得的图像来说明该方法产生预期的结果在现实的应用程序中。

我们提出了一个健壮的方法time-fractional扩散方程——非线性源项的一维或二维的情况下狄利克雷和诺伊曼边界条件。我们展示了通过数值实验的情况 我们的解决方案获得相似的结果NDSolve在Mathematica 9和扩展非常时间分数阶导数的秩序 。图像处理的应用具体化这对现实问题的方法,强调分数阶导数的有效性作为一个进一步的控制维度有显著的影响对模型的过渡时间和最终的状态。在图像处理领域这将打开新的研究途径让更多的控制身体身体实质性派生流程构造方法。

最好的作者的知识这种杂交的拉普拉斯变换,切比雪夫搭配,和拟线性化方案尚未应用于火焰在一个或两个维度。这种合作收益的方法准确time-fractional衍生品和健壮。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

信息披露

观点和结论抵达那些作者,不一定是归因于CoE-MaSS。本文中包含的工作也b . a . Jacobs博士论文的一部分。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

b . a . Jacobs承认NRF Thuthuka授予94005年的支持。DST-NRF卓越中心在数学和统计科学(CoE-MaSS)承认来融资。