文摘

我们要建立的一些结果 - - - - - - semiconnectedness和密实度bitopological空间。此外,我们将研究一些结果 - - - - - - semiconnectedness bitopological空间的子集。特别是,我们将讨论拓扑空间之间的关系与semiconnectedness和bitopological空间。也就是说,如果一个bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected,拓扑空间 和 是 -semiconnected。此外,我们引入结果即bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected当且仅当 和 是唯一的子集 这是 - - - - - - semiclopen集。此外,我们也证明了紧性的一些结果。总之,数的结果 - - - - - - semiconnectedness和密实度bitopological空间讨论了。

1。介绍

“bitopological空间”的概念建立了凯利(1]。他介绍了这个概念在1963年伦敦数学学会杂志》上。他开始研究bitopological空间利用quasimetric和它的共轭。对一组quasimetric 是一个非负实值函数 笛卡儿积的 满足以下三个公理:(1) , (2) , (3) 当且仅当 ,

然而,quasimetric无法度量。因为对称属性不保持quasimetric。此外,每一个度量空间是一个拓扑空间。但这并不适用于bitopological空间一般。总之,bitopological空间存在quasimetric空间。Maheshwari和普拉萨德2]介绍了半开口设置在1977年bitopological空间。在1987年,这一概念 ——开放集bitopological空间,巴纳吉(推出了3]。在那之后,Khedr [4介绍和研究 ——开集。后来,Fukutake [5)定义一种半开口设置在1989年。最近,爱德华·塞缪尔和氟草胺(6)建立了概念 - - - - - - 半开口设置在bitopological空间。我们已经发表的一些性质 - - - - - - 半开口/关闭集bitopological空间(7]。此外,我们提出了一些结果 - - - - - - semiconnectedness bitopological空间(8]。在本文中,我们将讨论以下结果:(1)让 是一个家族的 - - - - - - semiconnected bitopological空间的子集 与 。然后 也 - - - - - - semiconnected。(2)如果一个bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected,然后 是 - - - - - - semiconnected。(3)如果一个bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected,拓扑空间 和 是 -semiconnected。(4)bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected当且仅当 和 是唯一的子集 这是 - - - - - - semiclopen集。(5)在bitopological空间 ,如果 是 - - - - - - semiconnected然后 不能被表示为两组的结合 和 与 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口。(6)在bitopological空间 ,如果 不能被表示为两个非空的集的结合 和 与 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口,然后 不包含任何非空的真子集都是哪一个 - - - - - - 半开口, - - - - - - 半封闭式。(7)工会的任何家庭 - - - - - - semiconnected集与一个非空的十字路口 - - - - - - semiconnected。(8)每一个 - - - - - - semicompact空间 - - - - - - 紧凑。(9)如果 是 - - - - - - 半封闭式的子集 - - - - - - semicompact空间 ,然后 是 - - - - - - semicompact。(10)如果 是 - - - - - - 闭子集的 - - - - - - semicompact空间 ,然后 是 - - - - - - semicompact。

2。材料和方法

让 - - - - - - , - - - - - - , - - - - - - , - - - - - - ,和 - - - - - - 室内,关闭, 室内, 关闭, -semiclosure的 关于拓扑 ,分别 。让 - - - - - - int 和 - - - - - - cl 是 室内和 关闭的 关于拓扑 ,分别 ,在那里 和 是semiregularization 和 ,分别。

定义1。对于一个非空的设置 ,我们定义两个拓扑 和 和 可能是相同的或不同的)。然后三 被称为bitopological空间。

定义2(见[1])。让 是bitopological空间的子集 。然后 被称为 ——开放,如果 。补充的 ——开放组称为 闭集。

定义3(见[9])。让 是bitopological空间的子集 。然后 被称为(1) 定期开放,如果 int cl ;(2) 定期开放,如果 int cl ;(3) 半开口,如果 cl int ;(4) 半封闭式,如果 int cl

定义4(见[9])。让 是bitopological空间的子集 。然后,(1) 据说是 - - - - - - 打开设置,如果 ,存在 正则开集 这样 。补充的 - - - - - - 开集被称为 - - - - - - 闭集;(2) 据说是 - - - - - - 开集,如果 ,存在 正则开集 这样 。补充的 - - - - - - 开集被称为 - - - - - - 闭集;(3)收集所有的 - - - - - - 开集和 - - - - - - 集用开放 和 分别。也 和 。

定义5(见[6])。让 是bitopological空间的子集 。然后, 被称为 - - - - - - 半开口设置,如果存在一个 - - - - - - 开集 这样 cl ( )。
补充的 - - - - - - 开集被称为 - - - - - - 闭集。

定义6(见[6])。一个子集 被称为 - - - - - - semidisconnected bitopological空间的子集 ,如果 - - - - - - 半开口集 这样 , 和 。否则 被称为 - - - - - - semiconnected子集。

定义7(见[6])。bitopological空间 被称为 - - - - - - semiconnected空间,如果 不能被表示为两个不相交的集的结合 和 这样 - - - - - - sci - - - - - - sci 。假设 可以这样表达吗 被称为 - - - - - - semidisconnected空间和我们写 它被称为 - - - - - - semiseparation的 。

定义8。一个非空的集合 被称为 - - - - - - 半开口的封面bitopological空间 ,如果 和 - - - - - - - - - - - - 和 包含至少一个成员 - - - - - - 的一个成员 - - - - - - 。

定义9。一个封面 bitopological空间 - - - - - - 开放的封面 ,如果 和 , 和 。

定义10。bitopological空间 被称为 - - - - - - 紧凑,如果每个 - - - - - - 开放的封面 有一个有限的subcover。

定义11。bitopological空间 被称为 - - - - - - semicompact,如果每个 - - - - - - 半开口的封面 有一个有限的subcover。

3所示。结果

3.1。Semiconnectedness

命题12(见[8])。让 是家庭 - - - - - - semiconnected bitopological空间的子集 这样 ;然后 也 - - - - - - semiconnected。

证明。让 。现在,假设 不是 - - - - - - semiconnected。然后有两个 - - - - - - 半开口集 和 如果 , 和 ,然后让 (其他情况是类似的)。现在存在 这样 也 (因为 ),也 和 (因为 ,这表明 是 - - - - - - 这是一个矛盾semidisconnected子集。所以, 是 - - - - - - semiconnected。

第13号提案。如果一个bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected,然后 是 - - - - - - semiconnected。

证明。假设 是 - - - - - - semiconnected。然后 不能被表示为两个非空的独立集的结合 和 这样 - - - - - - - - - - - - 也 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口。自 和 ,我们每 - - - - - - 半开口, - - - - - - 半开口是 - - - - - - 半开口, - - - - - - 分别半开口。因此, 不能被表示为两个非空的独立集的结合 和 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 分别半开口。因此, 是 - - - - - - semiconnected。

14号预选提案(见[8])。如果一个bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected,拓扑空间 和 是 -semiconnected。

证明。由于每一个 - - - - - - 打开设置, - - - - - - 开放组 - - - - - - 半开口设置和 - - - - - - 半开口集,分别,如果 和 是 -semidisconnected空间然后bitopological空间 就变成了 -semidisconnected。但这是不可能的。所以 和 是 -semiconnected空间。

命题15(见[8])。bitopological空间 是 - - - - - - semiconnected当且仅当 和 是唯一的子集 这是 - - - - - - 同时semiclopen集(半开口和半封闭式)。

证明。考虑一个 - - - - - - semiconnected空间 ;让 和 是 - - - - - - semiclopen设置;然后 是 - - - - - - semidisconnected bitopological空间的矛盾。所以 和 是唯一的子集 这都是 - - - - - - semiclopen集。相反,让 和 是唯一的子集 这都是 - - - - - - semiclopen集。如果bitopological空间 - - - - - - semidisconnected,所以存在一个 - - - - - - semidisconnection bitopological的空间。所以 和 ;然后 和 两者都是 - - - - - - semiclopen集和每个人都不是 也不 。这是一个矛盾。因此, 是 - - - - - - semiconnected。

命题16。如果 是 - - - - - - semiconnected然后 不能被表示为两个非空的集的结合 与 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口。

证明。假设 可以表示为两个非空的独立集的联盟吗 和 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 分别半开口。自 ,我们有 。然后 - - - - - - - - - - - - 。因此, - - - - - - 。同样,我们可以证明 - - - - - - 。因此, - - - - - - - - - - - - 。这与我们的假设。因此, 不能被表示为两个非空的独立集的结合 和 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口。

命题17。如果 不能被表示为两个不相交的集的结合 和 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口,然后 不包含任何非空的真子集都是哪一个 - - - - - - 半开口, - - - - - - 半封闭式。

证明。让 不能被表示为两个非空的集的结合 与 这样 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口。如果 包含一个非空的真子集 这是两个 - - - - - - 半开口, - - - - - - 半封闭式。然后 ,在那里 是 - - - - - - 半开口, 是 - - - - - - 半开口, 是不相交的。这是一个矛盾。因此, 不包含任何非空的真子集都是哪一个 - - - - - - 半开口, - - - - - - 半封闭式。

命题18。工会的任何家庭 - - - - - - semiconnected集与一个非空的十字路口 - - - - - - semiconnected。

证明。取 ,每个 是 - - - - - - semiconnected与 。假设 不是 - - - - - - semiconnected。然后 ,在那里 和 是两个非空的分离集这样吗 - - - - - - - - - - - - 。自 是 - - - - - - semiconnected和 ,我们有 或 。因此, 或 作为 。因此, 或 。自 ,我们有 。因此, , 。所以, 。因此, 或 。假设 。自 ,我们有 。因此, 。因此, 。这与 。因此, 是 - - - - - - semiconnected。

3.2。Semicompactness

19号提案。每一个 - - - - - - semicompact空间 - - - - - - 紧凑。

证明。取 是 - - - - - - semicompact。让 是一个成对的封面 。然后 和 和 包含至少一个成员 的一个成员 。由于每一个 - - - - - - 开集 - - - - - - 半开口,我们有 和 - - - - - - - - - - - - 和 包含至少一个成员 - - - - - - 的一个成员 - - - - - - 。因此, 是 - - - - - - 半开口的封面 。自 是 - - - - - - semicompact, 有一个有限的subcover。因此, 是 - - - - - - 紧凑。

命题20。如果 是 - - - - - - 半封闭式的子集 - - - - - - semicompact空间 然后 是 - - - - - - semicompact。

证明。让 是一个 - - - - - - semicompact空间。让 是 - - - - - - 半开口的封面 。自 是 - - - - - - 半封闭式, 是 - - - - - - 半开口。和 是一个 - - - - - - 半开口的封面 。自 是 - - - - - - semicompact, 。因此, 。因此, 是 - - - - - - semicompact。

命题21。如果 是 - - - - - - 闭子集的 - - - - - - semicompact空间 然后 是 - - - - - - semicompact。

证明。由于每一个 - - - - - - 闭集是 - - - - - - 半封闭式, 是 - - - - - - 半封闭式。然后通过应用命题20., 是 - - - - - - semicompact。

4所示。讨论

在本文中,我们使用了所有的结果 - - - - - - 闭集是 - - - - - - 半封闭式。此外,如果 和 是两个 - - - - - - semicompact的子集 ,然后 也 - - - - - - semicompact。此外,每 - - - - - - semicompact空间 - - - - - - 紧凑。semiconnectedness概念和密实度的各个部分中使用数学。同时,bitopological空间有几个应用分析,一般的拓扑结构,有序拓扑空间理论。

5。结束语

本文的结果 - - - - - - 讨论了semiconnectedness和密实度bitopological空间。同时,我们有一些重要成果与连通性和密实度。所以我们感兴趣来检查这些结果是否为bitopological空间或不工作。如果结果不能保持bitopology,我们要说明的例子。此外,我们想要找到统一的连续性将如何在bitopological工作空间。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

m . Arunmaran谢谢他的上司Kannan k .数学系和统计,大学贾夫纳,斯里兰卡,提供重要的参考文献。