文摘

我们引入了下属半度量空间的概念。这些概念包括的概念引入RS-space Roldan称,沙赫扎德;因此Branciari概念的广义度量空间和Jleli萨梅特的广义度量空间是特定的情况下。Matkowski等空间我们证明一个版本的不动点定理,并引入的概念收缩Kannan-Ćirić类型的不动点定理。此外,使用这种结果我们描述完成下属半度量的空间。

1。介绍

不动点理论有一个大量的应用在普通(或偏)微分方程,博弈论,泛函分析,多元微积分(古典隐函数定理),等等。这是其中一个原因我们总是试图有一个固定的点导致一般的上下文,因为它可以更广泛的应用。

的度量空间的概念来概括目前最活跃的分支之一,功能分析(见[1- - - - - -4]或[5),quasimetric空间研究)的概念。事实上,在桌子上1我们现在nonexhaustive审查一些概括。

我们的工作与广义度量空间的概念引入Jleli和赛门特1]。这种概念是立即广义Roldan称,沙赫扎德(2)如下。

定义1。一个RS-space是一对 在哪里是一个非空的设置和 是一个函数,满足以下属性:(我)如果 然后 ,(2) 对于每一个 ,(3)存在 这样,如果 两个点,是一个无穷序列 和 然后

模块化的概念空间,quasimetric空间,混乱的度量空间,广义度量空间(Branciari意义上)是特定情况下的RS-space的概念(参见[1]或[2])。在本文中,我们介绍下属半度量空间的概念;这种概念的泛化RS-space的概念。另一方面,我们给的例子5一对 这是一个下属不是RS-space半度量的空间。下属半度量空间中我们证明Matkowski的不动点定理和一个版本引入的概念收缩得到Kannan-Ćirić版本的不动点定理。此外,我们证明如果下属半度量空间中的每一个收缩有一个固定的点必须完整。

2。下属度量空间

我们开始一个泛化的常见半度量空间的概念(参见[6])。

定义2。半度量空间是一对 在哪里是一个非空的设置和 是一个函数,它满足以下:(我)对于每一个 ,我们有 (2)对于每一个 ,我们有

可以介绍一些重要概念这个一般概念。

定义3。让 是一种半度量的空间。(我)一个序列在收敛于 如果 (2)一个序列在是一个柯西序列如果 (3) 如果每一个柯西序列完成是收敛的。

为了得到一个丰富的数学结构,我们引入一个替代的三角不等式(度量)。

定义4。我们说一个半度量的空间 如果有一个函数是下属 这样(我) 不减少的; ,(2)对于每一个 , ,作为一个无穷柯西序列这样收敛于我们有 在这种情况下,我们说 隶属于或者 是一个下属半度量的空间。

很明显,每个RS-space下属半度量的空间(取 ),我们给下属的一个例子不是RS-space半度量的空间。

例5。让 和定义 作为 自 序列 是一个无限柯西序列收敛于 假设有一个常数 这样 然后 ,尽管 。以这种方式 不是一个RS-space。然而,半度量的空间 是下属,例如,函数 。

与从属概念我们将看到我们能够证明一些重要的不动点定理。然后一个自然的问题是:半度量空间是从属条件意味着什么?

答案将会给我们在一个更一般的方案不动点定理。

3所示。不动点定理

我们现在介绍一种Kannan-Ćirić收缩状态。

定义6。让 是一种半度量的空间。一个映射 据说是一个收缩, ,如果 适用于每一个 。

让 是一个函数。为每一个 我们定义递归, 和 ,对于每一个 。使用上面的符号Kannan-Ćirić的我们有一个版本的不动点定理。

定理7。让 是一个收缩在一个完整的半度量的空间 。
如果有一个 这样 然后收敛一些 。
假设 隶属于和 如果 然后独特的定点

证明。 让我们集合 ,对于每一个 。的收缩的性质意味着 假设收益率 。
现在让我们看到是一个柯西序列。让 ,那么就 这样 因此,如果 ,然后 然后是 这样 。
让我们看到是一个固定的点 。如果一组 是有限的,柯西属性的意味着存在 这样 ,尽管 ,然后 。另一方面,如果 是无限集还有一个无限柯西子序列的这样 。如果 ,那么就 这样 以这种方式, 如果 ,然后 ;因此 或 ,但这是不可能的,因为 因此是一个固定的点。如果其他不动点,然后呢 从这个的独特性遵循。

现在让我们给一个例子,条件(12)获得一个固定的点是必要的。

示例8。让 被定义为 , 。鉴于 有 这样 。让我们考虑一组 与半度量的 由于序列是一个无限柯西序列收敛到吗(在此之前 )我们有 因此,半度量的空间 隶属于 。这个函数 ,定义为 没有固定的点。另一方面, , 这意味着 和, , 因此,是一个收缩完成半度量的空间 服从没有固定的点。

马上我们将尝试的一个版本Matkowski的上下文中定理下属半度量的空间。

定理9。让 服从是一个完整的半度量的空间和 。假设存在一个不减少的功能 这样 ,尽管 , 如果有一个 这样 然后收敛一些 。此外,独特的定点 。

证明。让我们以 。假设 ,然后 这个假设意味着是一个柯西序列,然后是吗 这样 。假设 对于一些 ,然后 ,这个收益率 因此柯西序列中的所有条款是不同的。此外 因此是一个不动点的 。如果其他不动点,然后呢 从这个的独特性遵循。

很明显,一个半度量的空间 的 ,对于每一个 ,没有固定的点,然后(26)是一个必要条件是为了有一个函数 和一个固定的点。

命题10。让 服从是一种半度量的空间 。让是一个柯西序列 与 每当 。如果有子序列的这样 ,然后收敛到 。

证明。让 ,那么就 这样 ,对于每一个 。另一方面,存在 的 因此, 自是不减少的 因此

与下一个结果我们描述当下属半度量的空间完成;度量空间的相应结果是由于Subrahmanyam [12]。

定理11。让 服从是一种半度量的空间 。让 ;如果每个收缩有一个固定的点 就完成了。

证明。让我们假设 不是完整的,那么有一个nonconvergent柯西序列 。柯西属性意味着我们可以,如果有必要,所有元素不同的子序列,所以我们假设是不同的(见第二部分定理的证明吗7)。让我们定义集 ,对于每一个 。如果 然后命题10意味着 。的柯西属性意味着集 ,尽管 非空。让我们定义 ,然后 为每一个 有 这样 ;因此 是定义良好的。这个函数 ,定义为 ,没有固定的点。事实上,根据定义 和 ,因为 。此外,对于 不失一般性,我们假设, ,然后 和(34)意味着 因此是一个收缩没有固定的点;这与假设。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

作者是部分支持Centro de Ciencias Basicas和格兰特PIM18-2斯大学。