文摘
系统,如周期性的行为,固定的点,最重要的是混乱已经演变作为数学的一个组成部分,特别是在动力系统。本研究提出了一种研究混沌是非线性科学的一个属性。系统至少有两个以下的属性被认为是混乱的在某种意义上:分岔和期翻倍,三个时期,传递性和密集的轨道,敏感的依赖性,初始条件,可膨胀性。这些被称为路线混乱。
1。介绍
动力系统是生活的一部分。经常是在数学学习作为一个抽象的概念。混乱是为数不多的几个概念在数学通常不能被定义在一个词或语句。大多数动力系统被认为是根据拓扑或混乱的系统的度量属性。约克et al ., 1976年,得出三个时期意味着混乱。他们讨论如何与时期三个轨道动力系统给出了保证系统混乱。前几种方法和条件因素的建设任何混乱的定义1]。r . l . Devaney之一最受欢迎和接受的定义混乱的系统必须表现出敏感的依赖性,初始条件,拓扑传递性,密集的周期轨道(2]。后来证明,如果一个系统是传递密集周期轨道初始条件的敏感依赖性显然保证。
这些系统的确定性自然不会让他们可以预测的,这是由于混沌理论。未知的地图的属性可以通过拓扑与已知的共轭性;因此属性未知的地图可以被研究的未知。帐篷映射和物流图是两个混乱的地图。在一个特定的时间点,某种类型的混乱可能暗示或可能相当于混乱的另一种类型根据混沌系统展品的路线。
炒的大小设置的系统是其中一个最通常被认为是条件定义混乱的系统(1]。
2。预赛
定义1。考虑到动力系统
,
函数的迭代是一个函数的构成与本身。
如果和代表函数的构成与自身一次,两次,分别th的迭代在一个点代表了次的组成与本身。这是写成
。
定义2。一个点的轨道在是一组
。
单个元素的集合
代表的路径迭代对于一个给定的函数。这些代表函数的轨迹或系统。
定义3。假设
,是一个周期点或一段时间吗轨道如果
。
在这种情况下的轨道被称为一个周期轨道或一段-轨道。所有迭代的迭代周期的集合形成一个周期轨道。
定义4(李et al ., 2015)。让是一个动力系统。一对 叫做炒如果
3所示。航线混乱和混乱的类型
3.1。敏感的依赖性,初始条件和李雅普诺夫指数
让是一个紧凑的度量空间和一个连续的地图。一个动力系统 初始条件敏感性依赖如果 这样, 和每个 ,有 与 和 这样 。
这个想法否则称为灵敏度依赖蝴蝶效应。这可能是由于这些原因甚至更多;失去了模式和伟大的影响从边际或微不足道的输入像蝴蝶翅膀的拍打。通常这是非线性科学的经验。最小的错误改变初始条件生长成为一样大的真实和实际价值。这使得未来行为的预测是不可能的,但这并不意味着系统不确定性。
数值,灵敏度是衡量李雅普诺夫指数等积极价值意味着系统是对初始条件敏感。
这意味着李雅普诺夫指数衡量的速度散度的轨道远离对方。
让是一个光滑的实线的地图。使用衍生品的地图的李雅普诺夫指数计算点的轨道(3]。李雅普诺夫号的轨道定义如下: 如果这个限制的存在。
李雅普诺夫指数被定义为 如果存在极限。
示例5(李雅普诺夫指数帐篷的地图)。鉴于
给定的地图上定义的时间间隔
。
之间的间隔,块连续函数0和1/2,
。
同样在1/2到1之间的间隔,
。
现在
在这两种情况下。自
帐篷映射有正的李雅普诺夫指数,因此是对初始条件敏感4]。
3.2。拓扑熵
拓扑熵定义的指数增长速度不同的轨道(周期轨道的数目趋于无穷时)。
熵是动力系统最重要的物理量之一,所以数值而言。它主要措施的动力系统的复杂性随着时间的变化在很大程度上,对无穷。度量空间紧凑,自治系统的拓扑熵交换等综合功能 (3]。
拓扑熵可以定义并确定固定的点并表示为
李约克混乱可以从熵暗示如果系统是自主和在一个紧凑的度量空间3]。
3.3。传递性和密集的轨道
一个动力系统当且仅当一个密集的轨道 在哪里代表一个特定的迭代。的轨道 , ,任意移动接近另一个轨道在给定的时间,这样他们之间的指标明显小。
一个动力系统拓扑可迁当且仅当,所有非空的子集和的 ,存在积极的迭代在相交至少在一个点。
动词通常意味着存在密集的轨道,如果 这样是一个密集的子集 。
拓扑传递性保证总是存在一个点开集的交集的结果在地图的迭代过程。
一个点被认为是一个传递点吗如果有密集的轨道下 。
3.4。膨胀系数
让 。和一个度量是一个度量空间吗上定义它。地图是广阔的,如果 这样, , 。
定义的常数 被称为广阔的常数的地图吗。点和是不同的分 。
存在一个明显的和更直接的膨胀系数之间的关系和敏感依赖初始条件。每一个广阔的地图展示依赖性,初始条件的敏感性。反过来不持有和两个条件从来都不是等价的。
膨胀系数意味着敏感依赖,因为膨胀系数处理两个邻近点之间的距离以及它们的轨道不断独立。膨胀系数的分离是由至少两个邻近点之间观察到的常数 。在敏感依赖的要求是,至少应该有一个点的轨道远离另一个近点的轨道后,相同数量的迭代。
3.5。三个时期
让是一个动力系统定义的映射。
地图据说一个周期点如果 ,
对于一个给定的地图,因为地图是一个自然数,据说周期的三个什么时候 。三个时期通常是与混沌动力系统,首次证明了在5]。
例子6(三个时期轨道的系统)。 让 自 然后期或地图的地图有一个循环周期三个点。
示例7(三个时期轨道的系统)。鉴于
给定的地图上定义的时间间隔
。我们想要展示帐篷函数周期三个周期。
让
自
然后会幕函数有一段三个周期(6]。
三个定理定理8(期)。让 是一个连续函数。如果周期的三个呢有周期的所有其他期。
3.6。分岔和期翻倍
分岔是指动力系统的结构变化的结果变更或参数值的变化。这种变化通常是突然和拓扑或定性。在这种情况下,我们预计动力系统是一个函数的因变量和参数。一个例子是 。
的概念可以分为两个分支,全局分岔和当地的分岔。在当地分岔,兴趣的变化发生在不动点附近的系统。它通常是通过改变稳定性分析属性和周期轨道。全球分歧发生在更大的系统的不变集相互碰撞。
期期间加倍轨迹的分裂为两个迭代。这种不同寻常的场景是受到大部分时间参数值的影响。混乱是观察到随着周期翻倍增加。这是因为某些点的路径轨迹是混合在一起,不可分割的系统混乱。
3.7。类型的混乱
3.7.1。李约克混乱
让 。这一对 是一双李约克炒如果 地图是李约克混乱如果它有无数的炒(李et al ., 2015)。
是近端但不是渐近。李约克混沌系统有两点分布炒相当于不可数炒集合(1]。
3.7.2章。摘要混乱(见[2])
让是一个度量空间。一个连续的地图 据说是混乱的如果(1) 是及物动词,(2)的周期轨道是密集的 ,(3) 依赖于初始条件敏感性。
3.7.3。•威金斯混乱(见[7])
让 是连续的地图,一个度量空间。地图被认为是混乱的(1) 拓扑可迁,(2) 依赖于初始条件敏感性。
3.8。李雅普诺夫定义混乱(见[7])
让 是一个连续可微的地图。地图据说是混乱的如果(1) 拓扑可迁,(2) 正的李雅普诺夫指数。
3.9。克努森混沌系统
让 是度量空间上的连续映射 ,的动力系统根据克努森定义混乱的敌我识别(1) 密集的轨道,(2) 对集成电路十分敏感。
3.10。积极的混沌系统
让 完美的度量空间上的连续映射 。
动力系统是积极的混乱(E-chaotic)敌我识别(1) 拓扑可迁,(2) 有浓密的周期轨道,(3) 是积极的。
4所示。各种类型的相互关系的混乱
让 和 是两个映射。是拓扑共轭如果存在一个同胚 这样 。
让 被定义为 和 。
我们确认和是共轭通过 如下: 同时, 自 和是一个同胚的 , 和配合。
自共轭拓扑映射的两个例子,它们共享相同的拓扑性质。因此如果任何映射标识与任何拓扑性质,我们可以把其他映射具有相同的属性,反之亦然。
在这一点上我们将研究通过等价关系在各种类型的混乱和影响。
提出了元混乱意味着韦根混乱,克努曾混乱,李雅普诺夫混乱。对初始条件的敏感性是一种常见的路线,由美国和克努曾混乱而正的李雅普诺夫指数相当于敏感依赖用于李雅普诺夫混乱。现在,Devaney混乱结合拓扑传递性和密集的轨道的存在。自韦根,李雅普诺夫,克努曾混乱依赖的两个拓扑条件,然后Devaney混乱意味着他们所有人。系统Devaney混乱必须韦根混乱,李雅普诺夫混乱,克努曾混乱。
积极的暗示韦根混乱,克努曾混乱,李雅普诺夫混乱。•威金斯定义,克努曾混乱,李雅普诺夫定义满足传递性的条件或密集的轨道。
与韦根混乱,他们不同的条件是积极的豪爽和敏感的依赖性,初始条件。膨胀系数意味着敏感的依赖;因此积极的混乱意味着韦根混乱。
克努森的混乱,除了茂密的轨道的存在,不同的条件也敏感。同样,由于膨胀系数意味着敏感依赖,广阔的混乱意味着克努曾混乱。
也为正的李雅普诺夫指数,膨胀系数不同条件和积极的李雅普诺夫指数。每一个广阔的地图都有正的李雅普诺夫指数,但反过来是不正确的。正如前面说的,如果只是两个轨道单独分开在迭代的一个点,李雅普诺夫将积极但地图可能不一定是广阔的。
韦根混乱和克努曾混乱意味着彼此非常相似或相当。他们共享一个公共财产的传递性。他们也分享一个等价的敏感性和积极的李雅普诺夫指数的属性。区别两个定义中定义的空间。•威金斯认为度量上的连续映射的李雅普诺夫处理可微的地图。
克努森混乱房地产敏感依赖的一个等价的股票和韦根定义初始条件和积极的李雅普诺夫指数和李雅普诺夫定义。在一些系统中,动词相当于密集的轨道虽然不总是正确的。在这样的系统中,所有三种类型的混乱是相同的除了每个定义的空间。
李Devaney混乱和纽约通过拓扑熵的混乱都是相互关联的。Devaney混乱意味着正拓扑熵和反过来是不正确的。正拓扑熵意味着李约克混乱和这里也反过来并不成立。根据传递性的法律分析Deveney混乱意味着李约克混乱。地图上的间隔Deveney混乱是最强的,而李约克的混乱是最弱的。
从上面,Devaney混乱意味着韦根混乱,李雅普诺夫混乱,克努曾混乱。积极的混乱意味着韦根混乱,李雅普诺夫混乱,克努曾混乱。可能,两者之间应该有一个链接。的两个定义有两个共同属性拓扑传递性和密度周期性的轨道。积极扩大性更强的属性比敏感的依赖性,初始条件。因为积极的膨胀系数意味着敏感依赖,积极广泛的混乱意味着Deveney混乱。
每个扩展地图都是混乱的。膨胀系数意味着拓扑混合这意味着传递性。当混沌系统的膨胀系数,定义传递性,被认为是最强的混乱和必要的条件之一,就是被俘。
应该有一种方法来计算混乱或数值确定混乱。熵通常是很难获得数值而李雅普诺夫指数。自每一个广阔的地图都有正的李雅普诺夫指数,然后确认地图的豪爽,混乱是可能的如果没有保证的。
最后,让更强形式的混乱,敏感的存在仅依赖本身不会在动力系统并不能保证混乱。因此其他路线成为相关的定义类型的混乱。
5。结论
混沌作为一种非线性科学已经成为我们日常生活的一部分。之间有一个含义或等价关系的各种基于特定路线混乱混乱。拓扑共轭性的手段,将地图的拓扑特性与已知与未知的属性和地图拓扑性质。广阔的混沌系统意味着李雅普诺夫混乱。提出了元混乱意味着韦根混乱,克努曾混乱,李雅普诺夫混乱。韦根混乱和克努曾混乱意味着彼此非常相似或相当。李Devaney混乱和纽约通过拓扑熵的混乱都是相互关联的。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。