文摘

假设和两个循环加法群的凯莱图吗,在那里是一个偶数,,,inverse-closed子集的吗。本文结果表明,distance-transitive图,通过这一事实,我们确定的邻接矩阵谱。最后,我们表明,如果和是一个偶数,那么的邻接矩阵谱吗是,,,(我们把多样性指数)。

1。介绍

在本文中,图总是意味着一个简单连通图顶点(没有循环,多个边缘,孤立的顶点),在那里顶点集和吗边集。图吗被称为vertex-transitive图,如果任何,有一些在自同构群,这样。让是一个图,补充的图的顶点集吗和对不相邻顶点的边缘。众所周知,对于任何图,(1]。如果是一个连通图,表示距离之间的顶点和那么,自同构在,我们有

让是一个集和是一组;然后,写表示所有功能的集合成,我们可以把成一组通过定义一个产品: 右边的产品在哪里。自是有限的那组是同构的(直接的产物的副本通过同构)。让和组织和假设作用于非空的集合。然后,花环的产物通过关于这个动作半直积的定义在哪里作用于组通过 我们表示这组。考虑花环的产品。如果作用于一组,然后我们可以定义一个行动在通过 在哪里(2]。

让是一个集团和子群的和。图的Schreier陪集生成的是图与左傍系集,有一个优势为每个陪集和每个。如果inverse-closed,那么是一个无向油印与循环(可能)。注意,如果身份的元素吗,然后凯莱图生成的。众所周知,每个凯莱图vertex-transitive [3]。

让是一个图的自同构群。说,图是对称的,如果对所有顶点吗的这样和是相邻的,另外,和附近,有一个自同构在这样和。我们说是distance-transitive如果,所有顶点的这样,有一个自同构在令人满意的和(3]。很明显,层次结构的条件

无向图的特征值是一个任意的邻接矩阵的特征值的。Harary和Schwenk4)定义积分,如果所有的特征值是整数。调查的积分图,请参阅[5]。在[6),积分图的数量顶点估计。被局限于某些积分图的特征图类;参见[7]。

在本文中,假设和两个循环加法群的凯莱图吗,在那里是一个偶数,,,inverse-closed子集的吗。摘要我们的目标之一是获得所有凯莱图的特征值。首先,我们确定群的自同构我们表明,是一个距离传递图;同时,通过这一事实,我们确定的邻接矩阵谱。最后,根据这些事实,我们表明,如果和是一个偶数,那么的邻接矩阵谱吗是(我们把多样性指数)。

2。定义和预赛

定义1(见[3,8])。对于任何一个顶点一个连通图,一个定义 在哪里是一个非负整数不超过的直径。很明显,,是划分为不相交的子集,对于每一个在这个图被称为distance-regular直径吗和十字路口数组,如果是常规价对于任意两个顶点和在在距离,一个,,这些数字,,在那里 是邻居的数量在为,被称为交叉的。很明显,,。

备注2(见[3])。显然,如果是distance-transitive图呢distance-regular。

引理3(见[3])。一个连通图与直径和自同构群是distance-transitive当且仅当它是vertex-transitive vertex-stabilizer呢传递一组吗,对于每一个,。

定理4(见[8])。让是一个distance-regular图每个顶点的价,直径,邻接矩阵数组,十字路口, 然后,三对角矩阵 确定所有的特征值。

定理5(见[9])。让是一个字段,让的交换子环的集合矩阵在。让,然后。

定理6(见[10])。让这样的图,其中包含组件。如果对任何,,然后。

2.1。主要结果

命题7。让凯莱图在循环组,在那里inverse-closed子集的吗。然后,在那里

证明。让顶点的集合。通过假设,每个独立的顶点集的大小是,因为是一个vertex-transitive图和每一个小团体的大小图吗是。因此,对于任何,正是,这样。因此,如果,然后两个顶点和相邻的补充吗的,所以包含组件这样,在那里完整的图吗顶点。因此,。因此,通过定理6,。

8号提案。让凯莱图在循环组,在那里是一个偶数,inverse-closed子集的吗;然后是一个distance-transitive图。

证明。假设顶点的这样,在那里是一个非负整数不超过的直径。所以或2,因为。
(一)如果,然后和。因此,两个顶点和相邻的补充吗的也两个顶点和相邻的补充吗的。所以包含组件这样。因此;因此我们可以假设,所以和。
(b)如果那么,由引理3,它是足以表明vertex-stabilizer是传递在组对于每一个和每一个,因为是一个vertex-transitive图。在这种情况下,让顶点的集合和。考虑到顶点在,然后,,。让的组织,是由所有元素集和说,。很明显,是一个群的,所以该集团是一个群的这样传递的为每一个。注意,如果那么,我们可以表明vertex-stabilizer传递一组吗为每一个,因为是一个vertex-transitive图。

9号提案。让凯莱图在循环组,在那里是一个偶数,inverse-closed子集的吗;然后是一个完整的图形。

证明。的评论2,很明显distance-regular,因为是一个distance-transitive图。让顶点的集合。考虑到顶点在;然后,,。我们是在这样;然后和;因此根据定义,1,。同样,如果在和,然后两个顶点在相邻的,所以和;因此,,。最后,如果在和,然后两个顶点不相邻的,所以;因此和所以交集的是因此,通过定理4,三对角矩阵 确定所有的特征值。很明显,所有的特征值是,他们的多样性,分别。所以是一个完整的图形。

结论10。让凯莱图在循环组像以前一样邻接矩阵,特征多项式然后是

证明。很容易证明邻接矩阵,在那里是矩阵;因此,通过命题9和定理5,

命题11。让凯莱图在循环组像以前一样邻接矩阵和特征多项式。如果和是一个偶数,那么

证明。很容易证明邻接矩阵,在那里是矩阵;因此,结论10和定理5,

结论12。让凯莱图在循环组,在那里是一个偶数,,inverse-closed子集的吗。如果和是一个偶数,那么的邻接矩阵谱吗是,,,。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。