文摘

必要和充分条件,一个二阶线性时变系统交换与另一个系统吗相同类型的文献中得到零初始状态和非零初始状态。这些条件主要是表达的描述系统的微分方程的系数。在这个贡献,逆条件表示的系数微分方程描述的系统推导和证明是相同的原始方程的形式出现在文献中。

1。介绍

的一个主要领域的应用数学,微分方程出现在声学、电磁学、电动力学、流体力学、波动,波分布,和许多其他科学和工程学的分支。有大量的工作在解微分方程的理论和技术和他们的应用程序(1- - - - - -4]。特别是,它们用作造型,一个强大的工具分析和解决实际工程问题和讨论分析的结果出现在最后解决我们的问题。例如,它们用于系统和控制理论,这是一个跨学科的分支电子电气工程和应用数学处理的行为动力系统输入和修改他们的行为如何通过不同的组合,如瀑布和反馈连接(5- - - - - -8]。当串联连接在系统设计中,交换性概念的地方改善不同的系统性能发挥重要作用[9- - - - - -11]。

如图1当两个线性时变系统和微分方程所描述的线性时变级联连接,这样一个看起来的输出作为输入,据说系统和在级联连接。如果连接的顺序不影响复合系统的输入-输出关系或,据说系统和是可交换的。

尽管关于交换性出现在1977年的第一篇论文(12)曾介绍了交换性概念,首次研究了一阶连续时间线性时变系统的交换性,本文对证明很重要一个时变系统可以与另一个时变系统交换;系统可以交换的进一步很少类。特别是,交换性条件放松二阶系统首次出现在1982年(13]。1984年(14)和1985年(15),交换性条件第三和四阶连续时间线性时变系统进行了研究,分别。发表的内容但未分配工作(15)可以在期刊论文(16),提供了一个详尽的研究连续时间线性时变系统的交换性。这篇论文是第一个教程论文在文献中。

从1989年到2011年,期间没有发表关于交换性出现在文献中。2011年,第二个基本杂志发表(17)出现了。摘要交换性在非零初始条件的情况下,欧拉系统的交换性,新成果交换性的影响,减少扰动改变连接顺序链结构的子系统,并基于系统最重要的明确的交换性条件进行了研究。

这项工作直接专注于二阶线性时变系统的交换性和零初始条件。部分2总结了必要和充分条件的交换性等系统出现在文献中,然后介绍了逆条件。部分3覆盖一个例子及其仿真结果。最后,部分4包括的结论。

2。逆条件交换性

让所描述的是一个二阶线性时变系统 :

在哪里是输入;是系统的输出函数;的年代, 时变系数。他们都是定义 。(双)点在顶部代表(二)一阶导数 ,在那里 ,在最初的时间。自是二阶的, ;此外,独特的可解性(1)为输出,它是充分的, 分段连续映射的集合 (2]。

让是另一个二阶线性时变系统定义的 :

在哪里,,在类似的方式定义为系统和 。

交换性的系统和,有必要和充分的系数必须使用的的矩阵方程 在哪里 任意常数;进一步,系数必须满足以下方程的一般价值 : 定义 它可以通过常规的数学运算的必要和充分条件(2)和(2 b)可以写成 在哪里 如果 ,(2 b)和(4 b)自动满足,因此他们是多余的。但是,如果 这些方程,结合信息 ,取而代之的是(4摄氏度),不变,时间不变。

它是自然预期,如果和是可交换的,类似的方程(4),(4 b)和(4摄氏度)的系数时是有效的使用。事实上,第一个方程(4)等价于 使用这个方程的二线方程(4)和解决它,我们获得 使用(5)和(5 b)(3),我们表达作为 在哪里 最后,用(5度在第三线的方程()4)和解决它,我们获得 因此,写作(5),(5 b)和(7),让矩阵形式 或者说(注意 所以 ) 我们获得第一组逆方程派生 寻找第二个逆方程,我们替代品从(7),从(5度),从(5),到(4摄氏度);和重新安排,我们获得 使用这个(4 b),消除由(5),,由(8 b),最后乘以,我们继续 在哪里 因此,(9)和(9 b)构成的必要和充分条件子系统的系数。这些方程的双刀(4)和(4 b),分别;同样的,(9 c)是双重的4摄氏度)。

最后,使用(9 c获得中级以上方程),我们写 解决它,我们获得 使用(8)和(8 b),我们获得的双刀(10)和(10 b), 分别。

我们的话,在(3),在(6)也同样定义所以他们也构成对偶方程。我们表达的结果得到的一个定理。

定理1。让和所描述的两个二阶线性时变系统(1)和(1 b),分别。
子系统的必要和充分条件是交换子系统如下:(我)的系数的系数表示的吗在(4), ,,是一些常数。(2)进一步,系数和满足(4 b)。相反,子系统的必要和充分条件是交换子系统如下:(3)的系数的系数表示的吗在(9), ,,是一些常数。(iv)进一步,系数和满足(9 b)。条件(i)和(ii)在一起是等价的条件(3)和(4)在一起。存在一个唯一常数之间的关系,,和,,所表达的双重方程(8)和(8 b)。
如果 相当于 由于(8)和(8 b),第二个和第四个条件高于所取代,分别如下:(v) 中定义的(4摄氏度)是独立于时间和等于一个常数。(vi) 中定义的(9 c)是独立于时间和等于一个常数。条件(i)和(v)是等价的条件(3)和(vi)在一起。进一步(v)和(vi)是等价的条件(10),(10 b),(11个)和(11 b)。

3所示。例子

的系数是 和 。然后,通过(3), ;因此 。用这些在(4摄氏度)和选择 ,我们发现 。因此,是所描述的 自选择,(4摄氏度)是满意一个常数上述系统二阶双计算(4),可以选择不同于零由于条件(v)的定理1。事实上,选择 , , ,下面的交换的得到: 使用(6) 在哪里 。评估(9 c),我们发现 或直接从(10 b) 这是相同的结果(14)。常数,,被发现的8), 这样的系数可以通过使用(反向计算9): 仿真结果为和为输入 和 所示为 在图2。为输入,和给出同样的响应( 和 ),分别。如果系数的更改为 ,然后(4摄氏度)不再是常数 ;所以,不会有一对二阶时变交换,除非吗 。为 和(2)是被宠坏的系数之间的和这两个,不会上班任何更多的。这是图验证了3通过输入是什么 ;它是很明显的反应和不重合。所有的模拟执行最初的和最后的时间 和 2010年分别由MATLAB仿真软件程序。

4所示。结论

二阶线性时变系统的交换性条件交换与另一个二阶线性时变系统在文献中是众所周知的。摘要逆交换性条件。结果表明,任何两个二阶线性时变系统的交换性条件和在相同的形式是否的系数表示的系统或。结果说明了一个例子。逆交换性条件获得用于交换性的动词的属性对于时变系统,这是未来工作的主题。此外,切换系统的交换性的问题18),这也是线性时变系统,可以是一个有趣的研究课题尚未被研究。此外,交换性条件可以研究了分数阶线性微分系统,甚至一些分数差分方程的线性系统19- - - - - -21]。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

本研究支持土耳其的科学技术研究委员会(图)项目没有。115 e952。