文摘
在最近的研究中,论文基于乘法相关数值方法证明这些方法的适用性和有效性。非线性方程组数值root-finding方法至关重要,广泛的应用于科学和工程。因此,root-finding方法基于乘法和沃尔泰拉的想法结石是不言自明的。牛顿,哈雷、Broyden和摄动root-finding在数值分析方法用于近似非线性方程的根。摘要,牛顿迭代方法因此摄动root-finding方法开发框架的乘法,沃尔泰拉结石。这些提议的效率root-finding暴露的方法的例子,结果与一些普通的方法。该方法的一个引人注目的结果是,许多问题的收敛速度大大超过原来的方法。
1。介绍
自从格罗斯曼和卡茨乘法引入微积分(1在19世纪的最后一个季度,乘法结石的重要性是最近被研究人员理解不同的分支。尤其是在论文Bashirov et al。2),一些重要的应用乘法各应用程序介绍了微积分。其中一些是(3在生物医学图像分析,4在复杂的分析,5在增长的现象,6- - - - - -9在数值分析,10]在精算学,金融、人口统计学、等等,11在生物学,最近(12在会计。重要的是要注意,第一次严重Bilgehan乘法应用数值方法的应用(13代表实时信号的信号处理。此外,沃尔泰拉(由格罗斯曼术语bigeometric)微积分还提供了一个广泛的应用科学。我们指的是(14- - - - - -16)与引用其中沃尔泰拉(bigeometric)微积分的进一步讨论。在本节中,我们概述一些基本概念的乘法和沃尔泰拉结石。
(1)乘法微积分
定义1。让是一个函数,。如果限制
存在,那么叫做乘法可微的吗。
如果是一个积极的函数的导数和在存在,那么th乘法的导数存在,
乘法的一些性质和基本定理可以找到导数在2,8)和论文。指Bashirov et al。2),乘法泰勒定理可以给一个变量,分别。
定理2(与一个变量乘法泰勒定理)。让是一个开区间,让是次可微的上。然后对任何,有一个数字这样
定义3。鉴于乘法的绝对值用这样
(2)沃尔泰拉(Bigeometric)乘法微积分
定义4。让是一个积极的函数在开区间。如果限制 存在,那么据说沃尔泰拉类型可微的吗。
在[7),这两个乘法的关系可以作为结石
此外,必要的概念沃尔泰拉微积分可以很容易地推导出利用上述关系(6)和(8一起)乘法概念。
泰勒展开式沃尔泰拉一个变量无法轻易获取的微积分。几个因素沃尔泰拉类型的泰勒展开式推导,分别在14]和[7] 最近,沃尔泰拉泰勒定理的封闭形式(如Bigeometric泰勒定理)提出了在文献[17]。
(3)Zero-Finding方法及其应用。确定所涉及的非线性函数根的过程在许多应用程序中各领域,如图像和音频处理数学、模糊系统、流体力学。在模糊系统中,重要的是能够解决非线性系统方程。在流体力学中,root-finding方法出现在寻找水的深度。在图像处理中应用检测重要的本地更改(零交叉)的强度水平下边缘检测的工作。众所周知,准确、及时的结果产生最佳的选择定位产生平滑的图像。对于数字音频处理零过境点代表样本的零振幅。其他时候,波的振幅对峰值上升或下沉至零。是非常重要的决定确切的零交叉在最短时间间隔尤其是在循环的情况下,音频之间的连接必须尽可能的平滑。
正如上面提到的,函数的零(特别是非线性函数)是非常重要的在真实的应用程序以及数学应用,如非线性函数的临界点。因此,使用数值方法与这些问题至关重要。牛顿、契比雪夫、哈雷、Broyden和摄动方法的一些重要方法近似函数的零。论文(18- - - - - -20.],许多论文在目前普通root-finding方法的最新发展和应用。这些方法的主要问题是,每个方法的初始任务应该足够接近根。此外,这些方法的收敛速度是不同的在许多应用程序中。
还可以创建基于乘法方法结石提供初始假设有较大间隔提高收敛速度。首先,讨论了乘法root-finding方法在硕士论文21]。对于许多应用程序,使用基于乘法的方法将减少计算复杂度和时间消耗。
2。牛顿迭代方法通过乘法结石
在本节中乘法root-finding方法或者基于牛顿迭代方法介绍。这些方法将为许多问题提供更好的性能。
2.1。乘法牛顿迭代方法(MN)
乘法的起点牛顿公式将相应的乘法泰勒定理。为了获得沃尔泰拉泰勒定理,乘法和沃尔泰拉衍生品之间的关系,在丽et al。7),应用。
定理5(乘法牛顿迭代)。假设和存在的一个数字这样如果和然后有一个这样的序列定义的迭代 将收敛于对于任何初始值
证明。自,我们有找到点这样通过找到一个固定的点的函数吗乘法泰勒定理(定理2)的程度术语可以给出的提醒 在哪里替换到(11)给 每当。如果是足够接近,我们可以考虑前两个方面(12), 因此, 让和收益率(10)。
2.2。沃尔泰拉(Bigeometric)牛顿迭代方法(AVM)
下面的定理州root-finding算法的迭代收敛标准的框架沃尔泰拉微积分。
定理6(沃尔泰拉牛顿迭代)。假设和存在的一个数字这样如果和,那么存在一个这样的序列定义的迭代 将收敛于对于任何初始值
证明。洞察力可以轻松的乘法牛顿迭代方法的证明。
是很重要的要注意,方法(10)和(15)是相同的,因为前两个乘法和沃尔泰拉泰勒定理推导的牛顿法产生相同的迭代。
或者下面的定理可以被视为一种沃尔泰拉牛顿迭代方法的修改。
定理7(替代沃尔泰拉牛顿迭代)。假设和存在的一个数字这样。如果,,,然后存在这样的序列定义的迭代 将收敛于对于任何初始值
证明。洞察力可以轻松的乘法牛顿迭代方法的证明。
3所示。摄动Root-Finding通过乘法结石的方法
在本节中,乘法扰动root-finding方法推导出基于相应的泰勒定理。努力获得这些方法将提供更好的近似用更少的计算时间和复杂性。摄动项的数量相应的普通的摄动方法(见[20.)应该增加相同的许多非线性方程近似为乘性摄动方法。普通的摄动方法(OP)两项可以得到(参见[20.,22]) 两届的乘性摄动方法或者派生。下一节中的数值结果列表展示该方法的效率解决方案的非线性方程。
3.1。乘性摄动方法
我们将开始与乘法泰勒定理推导相应的乘性摄动方法。前三个因素可以作为乘法泰勒定理 假设存在至少一个值这样的函数代表根值与扰动项和替换成(18)给 省略过去两届(19),1
方程的解决方案(20.),分别 我们的初始估计在哪里被表示为。根据方程(21第二个迭代值)可以计算为 让和在(22)。然后, 方程(23)表示乘法摄动迭代(MP)。
3.2。沃尔泰拉(Bigeometric)摄动方法(副总裁)
我们将推出沃尔泰拉摄动方法的框架沃尔泰拉微积分。的起点是(9)的形式 假设存在至少一个值这样的函数。让根值被表示成微扰条件和替换它(24)给 省略过去两届(25),将它设置为1 如果最初的估计是,第二个迭代值可以计算通过使用(26), 让和在(27)。然后,我们得到 方程(28)表达了沃尔泰拉摄动迭代(VP)。
4所示。提出了方法的收敛性判据
初始值的选择也是非常重要的乘法root-finding算法的收敛性。在本节中,提出的收敛方法的标准,这也将导致选择的起点为任何给定的问题。之前乘法牛顿迭代方法的收敛性由于初始值,不动点定理应该派生乘法意义上。此外,乘法罗尔和中值定理讨论了(2应该考虑。此外,沃尔泰拉罗尔和沃尔泰拉中值定理,首先给出了(16),应该显式地派生。
定理8。假设被定义在让一个积极的常数与对所有然后具有独特的定点在。
证明。让和是两个不动点。然后,通过乘法中值定理,存在这样 矛盾的声明。因此,有独特的定点在
假设在乘法牛顿迭代法,因此。上述定理产生初始值的充分条件收益率序列为的根,所以和可以选择这样 对所有。
因此,条件(30.)的初始值的收敛标准提出了乘法的方法。
类似地,可以得到类似的条件相应沃尔泰拉的方法。
定理9(沃尔泰拉罗尔定理)。假设和是积极的让存在于所有如果,然后这样
证明。它可以很容易地由乘法罗尔定理的证明。
定理10(沃尔泰拉中值定理)。假设和是积极的让存在于所有然后,这样
证明。让我们考虑一下这个函数 然后和让这。沃尔泰拉罗尔定理,这样 因此,这使公式(32)。
定理11。假设被定义在让一个积极的常数与对所有,在那里。然后具有独特的定点在。
证明。它可以很容易地通过使用在沃尔泰拉微积分中值定理。
初始值的充分条件收益率序列收敛为的根是,和可以选择这样 对所有
因此,条件(35)的初始值的收敛标准提出了沃尔泰拉的方法。
5。提出方法的一些数值结果
在本节中,将被认为是一些例子展示介绍了方法的适用性。数值结果报告也表明,该方法可以使两步大小的数量相当大的节约和减少计算成本。此外,不同类型的函数的例子包括显示的优点提出方法相比,普通的方法。
5.1。乘法和普通方法的比较
重要的是要注意,找到一个函数的零在通过发现乘法根吗这样。使用提出一些非线性方程的数值结果和普通root-finding方法在表中列出1和2。
显示在表1是函数的数量评估需要这样。功能表1与他们的根分别是
根据所得结果,乘法root-finding算法可以有效地使用在真实的应用程序中提到的部分。此外,这些方法产生更好的近似非线性方程组的特别是当方程涉及指数,对数,双曲函数。另一方面,普通的方法可以得到更精确的结果特别是对多项式方程。因此,方法的选择应根据功能出现在方程。
5.2。现实的应用程序
在本节中,两个例子将被证明可能影响科学和工程的引入方法。
示例12。化学物质相互作用的过程中形成新的化学物质具有不同成分被称为化学反应。这个过程是元素或化合物的化学性质的结果导致成分的变化。这些化学变化是化学家的主要目的。提到的评论是很重要的(23),”必须回答的两个问题对于化学反应系统是:(1)预计将发生什么变化,(2)他们会发生多快?“这是一个迹象表明化学调查数学表征是非常重要的。因此,化学反应主要是由化学方程式表示,代表从反应物到产物的变化。这个过程中,一般来说,包括非线性函数,所以它是强制性的使用和应用数值方法。作为模范地,假设一个化学反应了当时特定离子的浓度给出了一个非线性函数: 如果我们感兴趣的是当这个浓度将一半的市值在初始时间0,我们需要解决这个问题数值。如果作为一个初始的假设,这将是相当于找到根的非线性方程: 通常,化学家们倾向于使用普通数值方法估计的根(38)。然而,乘法基础方法的有效性证明问题涉及指数函数不应该忽视在许多应用程序中。乘法的优越性数值方法可以很容易地观察到这个问题表3。
示例13。瑞利函数符合瑞利分布, 扮演着一个很重要的角色,核磁共振成像(MRI)和概率理论。这是一个突出的例子为了显示乘法和沃尔泰拉root-finding方法的效率。假设连续随机变量的密度函数的时间间隔是由 它可能是有趣的考虑方程的根 估计这一点根据给定的概率一个事件的。我们尝试使用root-finding算法(41)将给出的表吗4。
6。结论
在这项研究中,并给出了乘法和基于沃尔泰拉的root-finding方法。这些方法还进行了一些重要的问题,与原root-finding方法相比。乘法的结果表明,在特定的问题和/或沃尔泰拉的方法给原始root-finding方法相比更准确的结果。尤其是底层的例子表明,性质微积分中发挥着重要作用近似函数的零。
初始值的选择是非常重要的收敛迭代。两个定理节4表明收敛的条件与乘法和沃尔泰拉的方法,分别。部分4也强调了最优初始值的选择。显然在某些情况下,乘法和/或沃尔泰拉方法收敛速度比普通的方法。特别是,它可以很容易地观察到乘法和沃尔泰拉牛顿迭代方法更精确的比普通牛顿迭代方法在许多应用程序中。因此,这些方法基于乘法结石已经证明他们的重要性在非线性方程的数值近似的过程。此外,本文的数值结果鼓励使用乘法和沃尔泰拉的方法求解非线性方程。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版。