文摘

我们研究产生的多重线性和多项式映射构成理想Schatten类。我们给一些重合定理科恩强烈2-summing多重线性运营商和分解结果这样由Lindenstrauss-Pełczński希尔伯特施密特线性算子。

1。介绍和预赛

让,两个希尔伯特空间的th Schatten类,紧凑的空间操作符这样。这个空间是一个理想的线性算子和恰逢希耳伯特施密特运营商的空间。Pietsch (1]介绍了和研究多重线性理想,通过引入两种方法来从一个给定的线性构造多重线性理想理想。众所周知,一些类的多重线性Pietsch运营商可以通过这些方法来解释,即类的主导、弱紧凑和紧凑的多重线性算子。如果我们考虑Schatten类,Braunss Junek [2]研究了线性生成的multi-ideals理想,在作者使用Pietsch的分解方法。安德雷德·门德斯(3给了一些分解这些映射的结果,表明这个过程产生的空间伴随着一类2-dominated多重线性运算符。结果本文集中研究多重线性运营商Schatten生成的类。我们给另一个类线性映射,指出的运营商可以写成与属于和是一个多重线性算子(这种技术的分解组成理想;参见[4])。我们将展示类正值强烈,科恩的类总结多重线性运算符。我们还将展示一些分解结果多重线性映射的类型像这样由Lindenstrauss-Pełczński希耳伯特施密特线性算子和门德斯的多重线性映射类型。相同的结果给出了多项式的情况。

本文组织如下。在剩下的部分1,我们回忆起一些标准符号和定义多项式和多重线性映射。部分2致力于证明我们的主要结果;我们研究类多重线性算子承认一个分解在哪里是在。特别是,我们表明,类伴随着类科恩强烈2-summing多重线性运算符。相同的结果是对多项式映射。我们结束本文通过给一些关于这个新类,分解定理。

我们首先简要回忆一些基本的符号和术语。让巴拿赫空间;然后其封闭的单位球吗是它的拓扑双。让现在,让是巴拿赫空间(或)。我们将表示,所有连续的空间线性算子从成。在的情况下,我们将简单地写。像往常一样,代表(完成)射影张量积的巴拿赫空间。如果,我们表示线性化的,这是线性映射给出的,尽管(,,)。规范化多重线性映射被定义为。我们有如下分解: 让;是对称的,如果是不变的任何组件的排列。对于任何我们将表示,相关的对称多重线性算子,定义为 在哪里是一组排列的。如果然后是对称的。一幅地图是如果存在一个唯一的对称齐次多项式线性算子这样对于每一个。的多项式是连续当且仅当吗是连续的。我们表示,,所有的巴拿赫空间连续的齐次多项式的来具有常态。

让我们回忆的概念的定义总结(5科恩,p . 31]和强烈加法操作符(6),将用于续集。

定义1。让和是一个线性算子。(1) 是如果需要弱求和可和序列强烈可和序列。我们表示的类求和的线性算子来巴拿赫空间。(2) 科恩强烈如果其伴随算子求和是求和。我们表示科恩强烈的阶级求和的线性算子来巴拿赫空间。如果,希尔伯特空间,我们有6定理以下4.4.1] 为和。如果,我们有

定义2(见[7])。让。一个线性算子科恩强烈总结如果其线性化是科恩总结线性算子。科恩强烈的阶级求和线性算子从来用巴拿赫空间。

定义3(见[8])。让。 齐次多项式科恩强烈总结如果它的对称线性算子科恩强烈总结多重线性算子。科恩强烈的阶级求和齐次多项式的来用巴拿赫空间。

2。主要结果

2.1。多重线性映射生成的

让。让巴拿赫空间希尔伯特空间。线性算子据说是类型的吗在符号,如果它通过希尔伯特空间因素 在哪里。的空间巴拿赫空间有以下标准: 下确界的接管所有可能的分解的形式(5)。如果是一个希尔伯特空间,我们有吗,。

命题4。让巴拿赫空间希尔伯特空间。然后(1)如果,我们有;(2)如果,我们有

证明。(1)的结果是(4)。
(2)让;然后,。第二伴随是由 然后因此。
相反地,我们使用基本身份,在那里是定义的等距嵌入 然后,因此。

之前的表示下一个结果,我们需要下面的引理。

引理5。让,巴拿赫空间等是反射性的。让科恩是一个强烈2-summing线性算子。然后,通过希尔伯特空间因素,也就是说,希尔伯特空间和两个线性算子,这样 与。

证明。让。由(6,其伴随定理2.2.2)2-summing。然后,通过希尔伯特空间因素(参见Pietsch分解定理(5推论2.16]);也就是说,,在那里2-summing(即。,它伴随科恩强烈2-summing)。第二伴随是由 另一方面,我们有与双射(反射性)。因此,我们获得。这就完成了引理的证明5。

有一个有趣的科恩强之间的关系总结类型的线性算子和线性算子。

定理6。让巴拿赫空间希尔伯特空间。对所有,我们有

证明。让。分解(5),与和。由(3)和理想的财产,我们有。相反地,让和。由(62.4.1,定理),是在。根据引理5,通过希尔伯特空间因素 与(=)。因此,。

现在,我们介绍类似的定义多重线性映射的范畴。多重线性算子据说是类型的吗在符号,如果存在一个希尔伯特空间,一个线性算子,这样 的空间巴拿赫空间有以下标准: 下确界的接管所有可能形式(可以分解成14)。自紧凑,由运营商(14紧凑的紧凑的多重线性算子的性质(见[4]),然后每一个运营商的空间紧凑。此外,如果我们有 我们下面的定理处理类型的多重线性算子之间的关系及其线性化。

定理7。让是巴拿赫空间和希尔伯特空间。让。以下属性是等价的。(1)多重线性算子属于。(2)线性化的。

证明。首先,我们假设的类型是。然后,通过分解(14)我们有与。因此,通过使用(1我们获得,在那里线性化的;然后 现在,我们假设第二个论断是正确的。我们可以写,。

在线性情况下(12Cohen),我们可以建立之间的关系总结多重线性算子和多重线性算子的类型。

定理8。让是巴拿赫空间和希尔伯特空间。对所有,我们有

证明。让。分解(14),与和。由(3)和(9推论4.2) 相反地,让和。由(7推论2.5),是在,(9推论4.2),在那里和巴拿赫空间。根据引理5,通过希尔伯特空间因素;也就是说,与(=)。因此, 期望的结果。

定理9。让希尔伯特空间。然后,(1)如果,我们有;(2)如果,我们有。

证明。(1)让和。由(18),属于和之前的结果(16)。
(2)让和是一个类型的多重线性算子。然后,,。它遵循了(3),。因此,(9推论4.2)完成定理的证明9。

2.2。分解Schatten类类型映射

在线性情况下,众所周知,希耳伯特施密特通过运营商因素讨论或讨论(Lindenstrauss和Pelczynski [10])也通过无限维的巴拿赫空间(5定理19.2)。反过来也是如此。多重线性和多项式的情况下,每一个希尔伯特施密特多重线性或多项式映射通过任何巴拿赫空间因素,但反过来并非如此(见[11定理2.10。和例子2.12])。在本节中,我们考虑的特定类它可以获得一个扩展类似于线性上述引用的情况。

首先,我们回忆的定义可分解因子的多重线性算子引入龙头Maguina (12)作为一个泛化的由Diestel等人在线性情况下(5]。

定义10。让和是巴拿赫空间。操作员据说是如果存在一个测量空间可分解,,这样 在哪里等距嵌入成。我们表示所有的空间可分解因子的多重线性运营商,这是巴拿赫空间。

定理(见[1112,命题2.3])。让是巴拿赫空间。然后,下面的断言是等价的。(1)操作员属于。(2)操作员通过希尔伯特空间因素;也就是说,存在一个希尔伯特空间,这样。

我们现在一个分解结果Schatten类类型的映射。

定理12。让是巴拿赫空间和希尔伯特空间。然后,以下属性是等价的。(1)操作员 。(2)存在一个线性算子和这样。(3)存在和这样。

证明。 :让与。操作员因素通过讨论;也就是说,与和;因此 也就是说,在哪里。
:让与和。一个可以写作为 由Grothendieck定理(5定理3.1),操作员2-summing。因此,通过希尔伯特空间因素;也就是说,与。因此,与;这结束了证据。
:这是一个类似的最后一个参数。

现在,我们给的多重线性版本Diestel-Jarchow-Tonge结果。最后一个定理的证明类似。所以,我们忽略它的证据。

定理13。让是巴拿赫空间和希尔伯特空间。以下属性是等价的。(1)操作员。(2)对于每一个巴拿赫空间,存在和这样。

关闭这篇文章中,我们介绍多项式的定义的类型。一个多项式映射据说是类型的吗在符号,如果其线性对称的类型是。的空间巴拿赫空间有以下标准:。通过应用类似的论点,鉴于对于多重线性的情况,我们有下面的结果。

定理14。让巴拿赫空间希尔伯特空间。然后(1)如果,我们有;(2)如果,我们有。

证明。(1)如果那么它的线性对称属于。由定理8和9,,因此。
(2)让;然后的类型是。定理的结果如下所示8和9。

作为最后一个定理的结果,我们有以下推论。

推论15。让巴拿赫空间希尔伯特空间。以下属性是等价的。(1)的多项式。(2)存在一个线性算子和这样与。(3)存在一个线性算子和这样与。(4)对于每一个巴拿赫空间,存在和这样与。

证明。 :如果然后。因此,通过定理12,因素通过讨论;也就是说,,和。现在,不难证明和。然后在哪里。
相反地,我们假设第二个论断是正确的。我们有;由定理12 属于;也就是说,。
和:其余类似于最后一个。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。