文摘
外部和内部的测量措施定义,用来证明结果涉及格子和它的补充。结果担忧略有常规措施和设置等的是哪一个测量集。
1。介绍
让是一个非空的并集格的子集这样和属于。外部和内部衡量指标用于生成结果晶格,在1),给予更多的结果略常规措施进行了研究[2,3]。节2,这些内部和外部措施略定期与相关措施介绍了符号,定义和属性。给出了一些结果3衡量一个格子上。在这里,大多关注略常规措施和结果集可以衡量的。
2。背景和符号
我们遵循标准符号和定义,根据(1- - - - - -9]。让是一个非空的并集格的子集这样和属于。表示生成的代数,表示那些重要的,有限添加剂措施(。表示这些元素的这是常规。请注意是常规的如果我们有。让这些元素的集合这是顺利上。请注意是顺利上如果和意味着。强烈的类吗光滑的措施。强烈顺利上如果和意味着。这些元素的这是顺利上,相当于可数添加剂。请注意,是顺利上如果和暗示。我们说是一个格,如果每当。
为,我们定义两个外部措施:,我们有,对于我们有
我们有
注意如果,我们有,因为;然后,,如果,然后。我们也有两个外部措施如果为和如果为。所有弱正则措施吗,是所有模糊的常规措施的集合,也如果,在那里;然后,。
请注意。不难证明。的证明如下。
如果那么,,在那里;然后,作为。因此,,在那里。自,然后所以和的证明下面给出。
考虑到是一个有限次加性外,我们定义的概念如果每一个是常规存在这样和。此外,如果是一个常规外,,,然后,如果是一个常规的有限添加剂外,我们有什么当且仅当。
我们有如果那这意味着在如果在和是常规的(见[3])。
现在我们定义两个组的功能。
让。对于任何,我们有这是一种内心的衡量。
让。对于任何,我们有。
如果是常规的,那么是一种内心的措施。
为和,我们得到
证明,请参阅[4]。
3所示。结果
下面的定理证明(2)使用这是一个子集的0 - 1组成的有价值的措施。
定理1。如果,,,然后。
证明。为我们有,意味着所以。现在,作为,这意味着在和在总是这样。现在的定义。
因此,。由此可见,和作为。
因此,给我们。这意味着是一个上限的。所以这是作为。使用,我们得到作为和。因此,给我们。
定理2。如果如果存在这样和,然后。
证明。自,然后意味着。因此,由定理1。
定理3。如果,,是一个格,,,然后因此。
证明。如果那么,所以。由此可见,所以是一个下界的。因此,。现在所以。现在根据定义的所以,自和在,我们有给我们。
自,我们有给和作为这意味着所以是一个上限的给。所以我们有作为。记得我们显示早期的证明因此我们有这给了我们。所以。因此,由定理1。
定理4。如果,然后。
证明。我们知道自,我们有。让,,。然后,在那里为。我们有和作为当;然后,对于一个固定的。现在自,我们有的单调性质,我们有。所以作为由于我们得到了。
注意在未来的结果是集的测量集和是集的测量集。
定理5。如果,是一个格,,然后。
证明。我们有在;至于,我们有。自,然后在所以作为。因此,在。
从,我们有那。因此,作为在。因此,在,使用为,我们得到。此外,由于是一个格,我们得到所以我们得到。现在从定理4所以和此前从3),。自,我们有。
定理6。如果,是一个格,,然后。
证明。自和是一个格,然后从定理(c)的一部分3]。现在自,是一个格,,然后从定理5。既然,我们得到。
定理7。如果,是一个格,,然后。
证明。从定理6,我们有,所以是可数添加剂。现在自,然后从定理4所以是可数添加剂。因此,通过定义。
定理8。如果,然后。
证明。从引理(3),当且仅当。现在;因此,。
定理9。如果,然后。
证明。如果,然后从定理8。现在使用为我们得到了。
定理10。如果,,是一个格,然后。
证明。自,就变成了。作为是一个格,我们得到所以我们得到由于我们已经通过定理4那所以,从(3)这意味着。
定理11。如果和是一个格,然后。
证明。让;然后,作为从[3],在[3),如果,然后。所以意味着。然而,,是一个晶格暗示到处都在3所以。
现在我们为;然后,作为无处不在。因此,当我们有。
我们现在结束与一种交谈的定理4。
定理12。如果,,,,是常规的,那么。
证明。现在作为和。因此,给我们作为是常规的,所以我们有什么。然后,它遵循从[3]。
相互竞争的利益
作者宣称没有利益冲突有关的出版。