文摘
我们研究空间上的局部定义的算子的有界黎兹变异函数和我们证明这些运营商Nemytskii操作符。
1。介绍
我们有一个闭区间真正的线,让是函数空间。一个操作员被称为本地定义的算子,或- - - - - -当地的运营商短暂,当地的运营商(1),如果每一个开区间和所有的功能,言外之意 是真的,表示的限制来。
上有一个巨大的文学问题对待,主要编制本地定义的运算符的定义涉及测量空间(cf,例如,(2- - - - - -5])。我们也证明,在一般情况下,是一个组合(或Nemytskii)算子的形式两变量的函数。另外假设连续测量,是生成函数吗可以替换为一个函数满足Caratheodory条件(cf。6])。本文对局部定义的拓扑方面的运营商(cf。1,7- - - - - -10])。更多知识的复合算子理论,看到阿佩尔和Zabrejko [11]。在[7它是完成时的情况和或。随后,这个结果已经被几个作者:延长(8,9,12)(惠特尼的空间可微的函数),(10,13)(空间支架功能),(14(连续和单调函数),(1)(函数有界变异的维纳)。在本文的上下文中我们感兴趣这样的运营商有界Riesz-variation功能。特别是,我们表明,如果操作员地图的空间本身和本地定义,那么是一个Nemytskii组合算子。
2。符号和预赛
在本节中,我们讨论一些必要的符号和定义和回忆一些关于有界Riesz-variation知识。
在续集中,,,分别表示正整数的集合,非负整数,实数集。
让;分区的,定义为。通常,表示所有功能的家庭。
鉴于和一个分区的,我们定义 在所有分区上确界在哪里了的。是经典的变化的在黎兹(15在。一个函数据说是有界变化,如果。通过我们都表示的巴拿赫空间功能有界变异配备标准
引理1。让是一个区间,让,是固定的。然后对每一个序列满足的条件 存在一个函数这样,,
证明。以任意顺序令人满意的(4),定义一个函数序列,,通过
让我们观察到
每存在这样
把
从(7)和(8),这个函数是定义良好的。此外,不减少的,
和(9),为每个,我们获得
所以。因此,序列倾向于一致。
现在对所有和倾向于一致,然后
因此因此。
同样,我们可以得到以下。
备注2。如果,在那里和是一个序列满足条件 则存在一个函数这样,,
3所示。本地定义的运营商
现在我们可以介绍当地运营商的类型定义的定义。
定义3(见[1])。一个操作员据说是本地定义,如果每两个函数呢和每一个开区间,
定理4。让。如果一个局部定义的算子地图成,那么存在一个独特的功能这样,,
证明。我们首先表明,对于每一个,每,条件
意味着
为此选择任意的任意两个函数完成(17)(例如,)。这个函数,定义为
属于。事实上,定义函数通过
自,和。让的分区这样对于一些。然后
因此。通过一个类似的推理,我们。最后,因为是一个线性空间。因此
因为,尽管
条件(22)意味着。
作为
通过当地运营商的定义,我们得到的
因此,连续性的,和在,我们获得
现在假设区间的左端点(例如,。存在一个序列这样,和连续性的和在
由引理1存在一个函数这样对所有。
没有损失的普遍性假设,和,。
根据第一部分的证明,我们有
因此,通过连续性,,在,让,我们得到
当是正确的端点的,论点是类似的。
定义的函数并修复任意一个,让我们定义一个函数通过
当然作为一个常数函数,属于。为,,把
因为,(30.),对所有功能,
根据已经证明,我们有
证明的独特性,假设是这样的,
对所有和。表明让我们解决任意,并采取与。从(33),我们有
证明的独特性。
定义5。让和一个函数是固定的。映射,由 据说是组成(Nemytskii或叠加)算子。这个函数被称为操作员的发电机吗。
作为一个直接后果的定理4我们得到以下。
推论6。让。如果一个当地的运营商地图成,那么它就是一个Nemytskii算子。
注意,如果当地的运营商地图到自己,很明显,地图成。因此,通过定理4,我们得到以下。
定理7。让。如果一个当地的运营商地图到自己,然后存在一个独特的功能这样,,
推论8。让。如果一个当地的运营商地图本身,那么它就是一个Nemytskii算子。
额外的假设下局部定义的操作符是均匀连续,我们得到一个完整的描述的生成函数。也就是说,我们有以下。
定理9。让。如果一个当地的运营商是均匀连续,那么存在这样
证明。从定理7存在一个独特的功能这样对所有,。修复,把一个任意序列与,让被定义为,。自, 应用的连续性在,得到的连续性关于第一个变量。因此,通过(16定理1](), 对于一些。自和,,功能。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢裁判他宝贵的意见和建议。w·阿齐兹想提到这项研究在一定程度上支持CDCHTA项目下的安第斯大学nurr - c - 584 - 15 - 05 - b。j·a·格雷罗州和k . Maldonado部分由Decanato de Investigacion所实验del Tachira-Venezuela,根据项目04-011-2015。这项研究部分由委内瑞拉中央银行的支持。