文摘
我们提出一个subconjecture这意味着semiampleness猜想quasi-numerically积极日志规范因子和证明在一些基本情况下广大。
1。介绍
在这个报告中,每一个代数不同定义的字段复杂的数字。我们遵循的术语和符号1]。
定义1。让是一个卡地亚除数射影品种。的因子是数值积极(国家联盟),如果对于每一个曲线在。的因子是quasi-numerically积极(quasi-nup),如果是nef如果存在一个联盟至多可数的许多主要因子这样对于每一个曲线(例如,ifnef如果对于每一个非常一般的曲线)。
备注2。最大nef的quasi-nup因子是因数”维度”的术语“八作者”(2]。
Ambro [3)和Birkar et al。4]减少了著名的日志丰富猜想为日志翻转和终止猜想semiampleness猜想(猜想4)quasi-nup日志规范因子日志类别的Kawamata终端(klt,)对。节2我们提出一个subconjecture (subconjecture1这意味着semiampleness猜想4。
备注3。我们国家历史的细节(出口的。5])。类别的klt对,福田6)(2002)减少日志丰富的存在和终止日志翻转,日志规范束公式的存在,和semiampleness quasi-nup日志规范因子,利用数值琐碎的纤维化(见[7];参见[2)由于教授和semiampleness标准(见[8,9];参见Fujino [10])日志规范由于Kawamata-Nakayama因数。Ambro [3]给出并证明了著名的日志规范束公式。日志翻转现在的存在定理(4)由于Birkar et al。里德的哲学的这段历史是沿着线在著名的宝塔纸(11]。
我们还要注意两个相关定理。在福田12](里德类型的基础点免费的定理,1999),我们证明了如果日志规范除数阶乘divisorial日志终端多样性是nef和日志很大,那么它就是semiample。在福田13)(2011),我们证明,如果日志规范除数klt各种数值相当于一些semiample因子,那么semiample。
还有另一个方法semiampleness猜想4。让是一双klt的日志规范除数quasi-nup。Hacon和麦凯南(Lazic [14),考虑嵌入定理要求寄出)一些日志规范这和日志规范除数nef,大吗,这具有双有理的收缩射吗合同的主要因子一些点。节3出于这种考虑,我们证明了广大(定理18)日志规范对一些基本情况。
在附录一个,我们调查庆祝扩展定理15由Demailly-Hacon-Păun最近被证明。
在附录B,我们给一个简单的证明定理由于Boucksom et al。16和Birkar和胡17]和Cacciola [18],每divisorial日志终端对其日志规范因子强烈日志,日志正则环是有限生成。
2。Subconjecture klt对
猜想4。让一双川俣町日志终端等是投影。如果日志规范除数semiample quasi-nup,那么。
我们给出的方法对上述semiampleness推测在这一节中。重复的方法寻找的过程生成一个简单的曲线极值为其他klt对射线和承包这极值射线。过程将终止在充足的日志规范除数。运行过程中,不需要是很重要的-factoriality的。
定义5。一个定义和对于一个卡地亚除数在。
Subconjecture 1。让一双川俣町日志终端等是投影。假设日志规范除数不充足的但quasi-nup。那么存在一个有效的卡地亚除数这样的十字路口对于某些类。
过程1。让一双川俣町日志终端等是投影。假设日志规范除数不充足的但quasi-nup。假设一个有效的存在卡地亚除数在成员的这样的十字路口。让是一个足够小正有理数。我们可以把这个类在表单中,在那里和是不同的极值的射线。然后,因为nef和。我们认为双有理的收缩射的极值雷。把。我们注意到,皮卡德号码,这,这是川俣町登录终端,quasi-nup。的话,我们可以允许每个divisorial-contraction情况和小幅收缩情况,因为我们不需要-factoriality的。
过程1有关Subconjecture1去猜想4。以下是本节的主要结果。
证明。让一双川俣町日志终端等是投影和日志规范因子quasi-nup。如果Subconjecture1是正确的,那么,通过重复过程1,我们获得一双川俣日志的终端与双有理的射这样和是足够的,因为皮卡德数量减少1×1在收缩的过程中极值射线。
推论7。Subconjecture1和终止猜想日志翻转意味着日志猜想klt对丰度。
注8。从上面的推论和存在性定理19]极值曲线由川俣町合理,我们可以说日志丰富猜想是某种理性的曲线,存在问题日志翻转模终止。
我们表明,Subconjecture1是一个猜想的一部分吗4。
引理9。让一双川俣町日志终端等是投影。假设不是充足但quasi-nup semiample。那么存在一个有效的卡地亚除数这样的十字路口对于某些类。
证明。考虑到满射射由线性系统引起的足够大,可分的整数。这射成为双有理的,因为斯坦factorisation定理以及充足的因数的回调有限射是充足的。然后一个充足的因子在。Kodaira引理,如果足够大,可分呢对于一些充足的因子和一些有效的因子。对于每一个特殊的曲线,我们获得的不平等,因为和。这里的类属于。
证明。引理9给出了断言。
3所示。日志规范对一些基本情况
我们证明日志规范对广大的一些基本情况。
假设11。让是一个正常的维射影品种之间的双有理的射这样是一个典型的因子,让和divisorial日志终端对。假设是国家联盟。
命题12。在假设下11,除数是每个小nef号码吗。
证明。结果(19川俣町klt对)及其变种(见[20.),命题1)Shokurov dlt对长度的有界性极值的射线。通过使用参数(21),我们有是一个极值理性的曲线。因此nef。
假设13。而且假设是卡地亚,是充足的,情况不是一个点,除数吗是充足的。
备注14。如果是阶乘的条件是充足的假设13自动满足,在假设11(cf。科勒和森22),引理2.62)。
定义15。在假设下11和13,定义了一个号码由方程。然后,因为是国家联盟。
证明。假设不是大的为每一个小的号码吗。因此其自交为每一个数字是零从命题12。因此。这与广大的。因此每个小数量大吗也是如此。
证明。的因子在是足够的对于每一个小的号码吗(cf。(22),命题1.45)。我们还记得,nef的命题12。因此是足够的,不平等的吗。
我们国家这一节的主要结果。
定理18。在假设下11和13,除数当且仅当充足吗对于每一个最小日志规范(即。,最小non-klt)中心对一对这样。
为了证明,我们引用富裕后的结果。
19号提案(见[23])。让是一双divisorial日志终端日志不是Kawamata终端等是投影。假设日志规范除数是国家联盟,对于每一个最小日志规范(即。,最小non-klt)中心对一对。然后是充足的。
定理的证明18。“只有”部分是微不足道的。我们证明了“如果”部分。
对于每一个最小日志规范中心关于这样我们有,从Ambro(见[24),命题3.3),因为是一个日志规范中心对吗。
因此对于每一个最小日志规范中心对一对由命题17。
因此命题19意味着是充足的。
20例。让与齐次射影空间坐标和超平面。我们考虑到超曲面()定义的不可约齐次方程。我们注意到,是正常的,卡地亚。炸毁在子空间并获得了射和特殊因子。让严格的变换通过。我们注意到,是满秩。我们有。因此。然后nef,因为线性系统base-point-free。因此nu是因为是充足的。让是一般成员的限制来。我们把和。然后是一个光滑的主要因子和是充足的。我们注意到,是国家联盟,是充足的。当(例如,),除数是充足的。最后定理18意味着是充足的。
附录
答:Demailly-Hacon-Păun扩展定理[的调查15]
在本附录中,我们调查由于Demailly-Hacon-P庆祝扩展定理联合国。
命题a . 1(见[15])。让是一个射影纯粹记录终端与一个主要因子这样。假设日志规范除数nef,存在一个有效的吗除数这是线性等价于与。然后限制地图 是满射的足够大的整数倍数。
让日志是一个射影Kawamata终端对其日志规范除数nef。
推测a(日志丰富猜想)。(nef)日志规范除数semiample。
Subconjecture 2。存在一个有效的因子在这样纯粹是登录终端和吗是线性等价的倍数吗。
建议出具。日志丰富猜想a .意味着Subconjecture2。
证明。如果对数Kodaira维度然后做完了(让)。所以我们可以假设。
足够大,可分的整数线性系统base-point-free并给出了代数纤维空间。然后是线性等价于对于一些超平面部分的。考虑一个日志决议的这样射是投影,特殊的轨迹divisorial,轨迹只有简单正常的过境点。对于一般的成员的线性系统,除数是一个独立工会的有限数量的顺利'因数。因此,除数满足所需的条件。
我们考虑为命题相反的声明a .。
权利要求1。在Subconjecture2,如果和是一个不可约的组成部分,然后我们有以下属性:(1)的主要因子是一个连接组件的。(2)这一对,日志是Kawamata终端。(3)日志规范除数nef。(4)的主要因子是卡地亚,nef。(5)地图上的限制 是满射的足够大的整数倍数。
证明。(1)和(2)日志终端对纯粹的基本事实。(3)很简单。
因为是卡地亚和nef,我们从这一事实(4)是一个不相交的联盟'因数。
因此是一个新卡地亚因子和。一个足够小的有理数,两人纯粹是登录终端和吗。我们注意到存在一个有效的除数这是线性等价于这样。因为我们有,。我们得到以下交换图的命题. 1(15]:
定理各。Subconjecture2在维意味着日志丰富猜想a .。
证明。如果,我们已经完成了任务。所以我们可以假设,在那里是不同的主要因子。我们主张遵循符号1。通过感应维度,日志规范除数semiample。因此索赔1(5)意味着基地所在地是分离的足够大,可分的整数。因此是分离的。从假设是线性的倍数,日志规范除数semiample。
猜想本(光滑丰富猜想)。假设是光滑的,。(nef)规范除数semiample。
Subconjecture 3。假设是光滑的,。存在一个有效的因子这样日志光滑和纯粹的日志终端和是线性等价的倍数吗。
命题要求寄出。光滑的丰富猜想本意味着Subconjecture3。
定理A.7。Subconjecture3在维意味着平稳富足猜想本。
b .强大的日志大
让是一个投影领域不同复杂的数字和一个有效的因子在在两人dlt(即。,divisorial log terminal).
如定义。一个卡地亚除数是强烈的日志大在如果对于一些整数满足以下三个条件:(我)的卡地亚除数是一个卡地亚除数。(2)基本轨迹不包含任何通用的日志规范中心吗。(3)理性的地图的形象和双有理的,此外,同构在其形象在某些社区的每一个一般点的日志规范中心吗。
的话A.9。Boucksom et al。16)证明,对于一个大的因子强大的日志大相当于增强基础轨迹的条件不包含任何通用的日志规范中心。
定理A.10(见[16- - - - - -18])。如果日志规范除数强烈的日志在dlt一对大吗,那么日志规范戒指是有限生成的字段。
从评论A.9,上面的定理是一个减少Birkar和胡17]或Cacciola [18]。但我们给一个简单的证明定理。
证明。我们遵循的符号定义如系为卡地亚除数。假设和divisorial日志终端定理(萨博(25]),存在一些非空的Zariski-open子集的以下属性:(我)
包含所有通用的日志规范中心。(2)
。(3)理性的地图同构的形象。(iv)这一对是一个非奇异的品种只是正常的交叉因子减少在。
我们设置。
从该决议引理25)由于萨博,存在一个日志决议:的一对这样是同构,divisorial。
这里的异常轨迹表示射不同构的轨迹。
从Hironaka决议定理,恪尽职守的重复沿着光滑的从属品种包括在奇异的轨迹,我们有一个解决方案:的奇异点是同构的,存在一些吗-antiample有效因子的支持特殊的轨迹是一致的。
我们认为合理的地图。然后我们获得交换图:
我们把不确定性的消除理性的地图:
注意,射是同构的。
因为各种(、职责)的阶乘,存在一些-antiample (-antiample、职责)有效因子的一致支持(、职责)。
我们把。然后我们交换图:
我们有关系
之间的线性系统,完成是一个超平面的部分和是一种有效的因子的财产。
我们考虑到除数。
我们设置,这是纯粹的余维数在。
考虑到Zariski-open子集。
我们注意到,这。
从该决议引理25由于萨博,我们有一个射影射:满足以下四个条件:(一)
沿着光滑的从属品种是恪尽职守的组合。(b)
是同构的。(c)
是满秩。(d)
是一个除数只有简单正常的过境点。
把和,我们有图
位点的性质和divisorial。我们定义的因数,,由以下关系:(我)
。(2)
(例如,)。(3)
。(iv)
和没有共同的不可约组件。
然后我们有属性是一个减少因子只有简单正常的过境点,++是分离的,这。
存在一些-antiample (-antiample,-antiample、职责)支持的有效因子(,、职责)。因此,因数
充足的一些有效吗因数,,的财产,,。我们写在哪里和注意,。然后
在哪里。
在这里。因此不包括任何日志规范中心顺利对吗。一个足够小的有理数,除数是充足的。因此,对于一个足够大的和可分割的整数,除数很充足,线性相当于一些'因子这样只有简单正常的口岸和不包括任何日志规范中心顺利对吗。我们有以下关系和klt(即。日志,Kawamata终端)一个足够小的有理数:
从Birkar-Cascini-Hacon-McKernan定理4),日志规范戒指一双klt有限生成。
因此之间的等价有限生成的日志正则环和截断的这枚戒指意味着断言。
信息披露
评论的内容3(历史)(见[5)提出了短期交流ICM 2014(首尔)在2014年8月16日。备注3采用按时间顺序罗列工作经历纠正错误和一个实足的错误在福田5]。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
在这个系列的研究,作者支持的科研补助金岐阜Shotoku大学在2011年和2014年。作者要感谢裁判仔细阅读本文,给的建议改善的解释。