文摘
本文的目的是著名的常微分算子应用于某些多价的功能分析在复平面的某些领域,然后确定一些标准的有关分析和几何属性相关的复杂的功能。
1。介绍、符号和定义
让表示函数的类下面的形式: 这是分析和多价的在域 在哪里是一组复杂的数字。众所周知,域和被称为单位打开磁盘和穿刺打开单位磁盘,分别。也让和当。
通过微分函数的双方的形式(1),次对复杂的变量,一个人可以很容易的得出以下(普通)微分算子: 在哪里,,
在这个调查,运用微分算子,定义为(3),多价的某些分析功能或亚纯多价,几个标准,也包括分析和几何性质的单价的函数(见[1,2])函数在类和,然后确定。在文献中,通过使用某些运营商,一些研究人员获得的一些功能属于一般类相关的结果。在本文中,我们还确定,包括许多结果starlikeness,close-to-convexity凸性,和close-to-starlikeness在本文的第二部分的分析功能。你可以参考一些结果由常微分算子(3,4,某些线性算子的一些性质5- - - - - -7),以及某些结果属于多价的功能和他们的一些几何和分析属性(8,9)的引用。
主要结果的证明,然后我们需要记得著名的方法获得的杰克(10)(参见[11])和由以下引理。
引理1。函数给出的
分析在与
如果
然后
c是实数,在哪里。
2。主要结果和他们的应用程序
定理2。让和,也让下面的不平等: 是真实的。然后
证明。让通过应用微分算子,定义在(3),函数,一个很容易 在哪里和是由 分别。很明显,定义的函数引理的形式1;也就是说,它是分析与。在区分的标识(9),容易获得 现在假设存在一个点这样 通过引理1;然后,我们有因此,鉴于上述平等,它可以计算出 这与(7)。因此,我们得出这样的结论:对所有和定义(9)收益率不平等 相当于(8)。因此,这就完成了所需的证据。
定理3。让,,,另外,下面的不平等 得到满足。如果 然后
证明。让功能和的形式 分别。然后,从相关函数的微分算子和定义和,确定 在哪里和是由(10)和(11),分别。定义通过 很明显,它很容易看到满足条件的引理1。定义在(21)清楚地给我们 现在假设存在一个点这样 然后,应用引理1,它遵循从(16)和(22), 这是矛盾的断言(17)。因此,对所有在磁盘。因此,模量的身份(21),也就是说, 需要不平等(18)。这就完成了定理的证明3。
定理4。让,,,,,
如果
然后
证明。让功能和是由(19)。然后,在视图的定义(20.),定义了一个解析函数通过 很明显,分析在与。通过区分在(28)对数,我们发现 假设存在一个点这样 然后,应用引理1,它遵循从(29日), 这与假设由(26)。因此,对所有,成立。所以,(28)立即产生不平等(27)。因此,完成所需的证据。
定理5。让,,,也让下面的不平等: 持有。然后 在上述复杂的权力的价值是被作为其主要价值和是由(10)。
证明。让。鉴于(9),我们定义一个函数通过 我们可以很容易看到也分析在。通过区分对数(34),我们得到 现在假设存在一个点这样利用引理1,然后我们和也。因此,的帮助下(35),它可以确定 这矛盾的情况下(32),分别。因此,我们得出这样的结论:对所有和定义(34)立即产生不平等(33)。这就完成了相关证据。
本文包括几个有用的结果将是重要的和/或有趣的分析和几何函数理论(1,2]。我们想指出只有两个特殊结果的主要结果。其他人在这里省略了。
如果我们把在定理5,然后我们收到以下推论。
推论7。让,,。然后 或者,同样, 在上述复杂的权力的价值被认为是其主要价值。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突。