文摘

我们给出一个新的证明一个定理的齐夫跑概括Matsusaka和霍伊特的一些结果。这些结果提供了一个交换各种标准雅可比矩阵或雅克比时的产物。我们的方法的优点是它在任意工作特点。

1。介绍

在经典的论文1)(分别地。(2]),Matsusaka和霍伊特给了阿贝耳簇的充分必要条件分别的雅可比矩阵,雅克比时的产物。在[3),跑反思这个问题,给出了更一般的,可能更自然的准则。然而,他的方法似乎不满意积极的特点。

本文的目的是责备跑的标准,使用结果[4在数值代数环的周期。Ran-Matsusaka标准的特定情况下,另一个证据出现在[5]。两个证明都独立于基础领域的特点。

在续集中,阿贝耳簇,我们表示的向量空间的代数循环系数在并通过商的数值等价。众所周知(cf。6]或[4),在有两个代数结构由通常的产品和Pontrjagin产品。

在这篇文章中,后者将是非常有用的,由于其几何定义和它不仅给出了环形结构但也。下面,,我们将表示一般的产品和Pontrjagin产品。

同时,两个从属品种和在,我们表示和他们的总和和集团法律的差异,为了避免混淆与相应的操作周期。在当前的论文,往往会是因数和代数周期周期(后者的正式的曲线),他们总有整数系数。

曲线,这个词被预留给积分的周期将被认为是有效的。最后,一个周期是一个不可约亚变种相应的余维数。

2。阿贝耳簇的生成曲线

让成为一个交换的各种尺寸和是一个曲线包含原点的。我们考虑一系列封闭的子集,定义如下: 很明显,这个序列越来越多,和对于每一个。只要是一条曲线,是不可约有一个第一次指数吗这样。同时,我们有对所有和。由此可见,集团法律是稳定的吗和人工操作作为团结。使用Ramanujan的结果([7、第二章部分]),是一个交换的从属品种的的点生成组。我们表示的从属品种。如果,然后和我们说是一个生成曲线。

备注1。在[8]Matsusaka证明每一个阿贝耳簇都有生成曲线。此外,从他的证据,射影嵌入,每一个适当的线性部分和一个方便的线性子空间维度包含是生成曲线。

使用Pontrjagin产品(周期,而不是数值类)很容易推断出以下有用的事实。

引理2。让是一个曲线与,的从属品种生成的和。然后,的最大数量这样(与)非零和是周期的支持。

现在让我们考虑一个曲线它并不包含原点。它很容易遵循的生成的阿贝耳簇不依赖于;这是事实上的子群生成的。这个阿贝耳簇也会用。如果是一种有效的母,我们表示的阿贝尔亚变种我们会说是一个生成母的。

备注3。从上面的定义,我们看到的建设是独立的数字吗。特别是,和生成相同的从属品种也和。

下一个引理的续集会有用的。

引理4。(一)与亚变种,一条曲线,包含原点,如果然后。
(b)阿贝耳从属品种和非零的整数,如果和数值相等,那么。

证明。(a)从我们推断出。所以因为它遵循。
(b)让是一个生成曲线(它存在cf的话1)。然后所以。由此可见,,从第一点。最后将意味着。以同样的方式证明了逆转包容。

备注5。上面的点(b)中,,由于Matsusaka [8]。

命题6。(一)两条曲线数值相等,我们有什么。
(b)曲线和,一个数值相当于1循环,我们有。
(c)让是一个充足的除数和一个数值相当于1循环。然后是一个生成1循环。

证明。(一)使用方便的翻译我们可以假设和包含。让,的维度为。利用引理2事实上,数值相当于与对所有正整数,我们发现。从引理2再一次,是两个的倍数吗和,从引理结论4(b)。
(b)在(a),表示我们可以假设和所有包含。由引理2,因为,我们有。现在,在数值上等于,我们发现。但是从引理2我们找到一个非零项的发展。与引理4(一),实际上是一个从属品种包含这一项,因为所有条款消失的Pontrjagin产品。另一方面,这一项包含在所以。
相反的包容,我们考虑的左侧平等的发展。从引理2 与是一个整数。我们发现;因此对所有然后从引理4(一),,所以。
(c)让一个正整数很充足的。周期和因此数字等价物和将存在一个整数曲线在相同的数字类所以与。我们从(b)。但从评论1 ,所以是一个生成母环。

上面的点(c)是一个轻微的泛化的结果的话1和将被用来推断Matsusaka-Hoyt标准的。

3所示。代数周期由生成曲线

我们回忆的结果(4)的主要工具在跑的定理的证明。让是一个生成的曲线维阿贝耳簇。我们考虑以下周期:和为。从Pontrjagin产品的定义,是一个周期,不可约余维数的支持在。特别是是一个除数,存在吗这样,在那里基本周期吗。

结果,我们需要从[4)是这样的。

命题7。所有的周期整数系数,特别是吗显然,积极。同时,为。特别是,所以是充足的。

注8。为一个平滑的曲线,其雅可比矩阵,这些因数是众所周知的。

上述命题的第一个应用程序是点(b)在以下。

9号提案。(一)让是一种有效的因子一个生成母环。然后。
如果此外(b)是足够的,那么。

证明。(一)我们可以假设是一个典型的因子。让的组件。我们有对所有,因为一般的翻译削减正确。因此,足以找到一个这样。假设是不存在。然后从[使用结果7章,部分与元素的形式),翻译与离开不变的。但是一个生成母,因此每一个元素是这种形式的元素之和。所以不变的是对翻译然后数值相等吗在矛盾与有效性。
(b)首先考虑一个例子是一个典型的周期(例如,是一条曲线),并不失一般性吗。让是一个变量,并考虑多项式。因为是充足的,非简并,指数定理对阿贝耳品种比较(7]声称所有的根是真实的和消极的。因此,意味着不平等了。
一般情况下,让与所有,,的限制来。投影公式为从上面的具体情况。所以,,因为是一个生成母环。

以下上述命题的结果将在文章的最后一部分是有用的。

推论10。让阿贝耳簇,一个充足的有效因子,一个生成母的(系数应该是零)。如果然后对所有。

证明。我们有因为是充足的,可以应用命题吗9(b)因为是由命题非零的最后一学期了9(b),我们发现对所有。
同样的,因为仍然是一个发电机母的评论3。所以和充足的,上学期是正的。它的结果对所有。

现在我们可以证明下面的结果,只是跑版的Matsusaka定理。

定理11。让阿贝耳簇是一个充足的因子,让这样是一个生成曲线。然后光滑,是它的雅可比矩阵,然后呢是一个翻译。

证明。在点(b)命题的证明9我们有不平等。如果我们将会有所以。在这种情况下,多项式从相同的命题。它遵循的算术和几何意味着根一致,所以所有的根的形式对于一个积极的价值。所以通过鉴定,。由此可见,然后。这些关系表明。霍奇指数定理断言数值相当于与,因为是一个主要极化(从命题7与平等),可以推断出是一个翻译。
考虑正常化为,让是一个延长的,在那里的雅可比矩阵。如果我们选择一个基地的建设,一个在这上面写着,会射阿贝耳品种,产地来源。同时,是满射,因为是生成和属的我们有。
让我们表示的雅可比矩阵规范化周期。因此为:对于这是清晰的,因为和这是一个定义的结果和也从这一事实通勤Pontrjagin产品。特别是所以程度的限制吗来。因此这个限制是一个双有理的射和逆:。这种逆,视为理性的地图来在所有的可以扩展给射比较(7]。因此,限制的来将一个同构和将是一个交换的从属品种的。但包含而产生所以。在这种情况下和是双有理的来因此一个同构。

4所示。证明了定理

本节的目的是给跑满定理的证明。有些点是在3),包括只为了完整性。修改出现替换的引理从[3)与下面的结果的证据是非常简单的。

引理12。让阿贝耳簇是一个主要因子。然后,存在一个阿贝耳簇阿贝耳的满射射品种和一个充足的因子在这样方案。

证明。我们认为封闭的子群的定义为和阿贝尔亚变种的连接的组成部分是什么在。我们表示商并通过商射。最后我们表示封闭的不可约子集减少结构。我们很容易找到,所以是一个除数在理论上,因为。让这样。应用我们发现,因为我们发现所以。因此,元素而离开不变的翻译。他们是那么有限,因为索引是有限的。所以是一个充足的因子。最后,平等还拥有在项目层面,因为光滑的建设。

结果我们感兴趣以下定理。

定理13。让成为一个交换的各种尺寸,一个充足的有效因子,生成1循环,这样。然后对所有,还有光滑的曲线与雅克比和阿贝耳品种的同构这样,每一个,是一个翻译(在th)和是一个翻译(),是规范化因子在。

证明。这一事实对所有是必然结果10。对于其他点,证明关注的(3)和一些参数的修改。我们用三个初步的步骤开始。
一步1。我们为每一个证明有一个独特的这样。我们把曲线这样,它们包含原点和相同的字母表示结果。让和,所以是生成曲线。表示由包含相同的字母翻译的因子有合适的和每一个十字路口吗。因此,被定义为一个周期,一个充足的因子。投影公式为 所以 第一个来自不平等这一事实一个人根据命题9(b),最后一个是由于这一事实是一个生成母环。所以,作为一个生成曲线从定理11一个发现光滑,是它的雅可比矩阵,然后呢是翻译的规范化因子;所以一样是质数因子数值上等于(这是一个主要极化)。
让我们解决,并考虑对任何一个翻译的从而减少了正常。每一个这样的翻译,也用限制,是一种有效因子或有一个空的十字路口,在这种情况下。但这些限制是等效数值的总和所以不能有两个索引与,因为在这种情况下这是将两个有效因子的总和。的存在与来自这一事实是充足的。
一步2。这部分由以下事实:证据的一个维阿贝耳簇,一个主要的因子和生成母与一个人(例如,ireducible和减少)。
证明是由于跑比较引理III.2从[3]。表示由。第一步,我们知道实际上是光滑曲线的雅可比矩阵;特别是它主要极化和同构双。它将足以证明,因为在这种情况下将生成曲线,这一事实吗充足的不平等意味着根据需要。
目前,我们替换翻译的限制是定义良好的因子。一步的证明,数值相当于与。让的射和预测。考虑在线包和线包,在那里预测的因素。使用这一事实是雅可比矩阵(因此它是自己的皮卡德品种因为庞加莱包等于什么),我们推断出射的存在和一条线的包在这样 限制(4)纤维,因为,你会发现一个同构 在哪里是嵌入。因为是一个主要分化,意义具有上面定义的风格属性,可以用divisorial条款,至少在一般这样的因子是定义良好的。从这一个点的演绎是固定的所以是满射,在那里的内核。
因为削减只有在,射是内射,所以我们会有吗。现在,一位将军,我们有。所以,。但是封闭的,所以对任何我们有。
然后,因此。为连接组件的原点,我们有。但是一个因子,是质数,所以前面的包容是一种平等。现在, 但充足的意味着是有限的,主要意味着这是等价的。
一步3。在这一步我们为任何证明有一个独特的这样。为此,我们考虑了所有的人,阿贝耳簇,一个充足的因子在和一个满射射这样。他们的存在是引理12。
我们有 在哪里最后从命题不平等9(b)。我们检查最后和使用有效的建设的从引理12。在那里,的形式在哪里是一个交换的从属品种的。作为结果,所以 (根据定义和广大的,十字路口是有限的)。
它的结果 所以。但是一个典型的除数和步骤有一个独特的与一条曲线。所有其他支持的曲线会因此萎缩。我们现在解决和计算。最后一个号码是如果和非零因为是充足的。这第三步结束。
我们发现从第一和第三个步骤是一个双射所以。也可以重新排序的曲线(这样将编号),所以我们可以假设我们有。结论证明,我们应该考虑所有的需求。
首先我们回顾的年代。让是循环的。从第三步,实际上是一条曲线,即。我们已经看到因此定理11意味着的雅可比矩阵。看到这,我们只需要证明是一个生成曲线的这是隐含的事实,正如我们所见,合同所有的曲线为至于这些包含,收缩。所以因为生成,生成。因此,通过定理11,是翻译的规范化因子。
让我们回想一下,在第一步我们应该(使用适当的翻译)正确的切亚变种的,这意味着是一种有效的因子或是空的,在这种情况下吗。前者只能发生,因为在这种情况下(更准确地说,投影公式)。所以我们有 让我们考虑射。它将发送生成曲线的在生成曲线上的,因此它是满射;所以。但是,从第一和第三步骤,;这意味着有一个有限非零的程度。另一方面拉回校长极化从主极化在。所以它的程度是和它是一个同构逆用。
让被定义为和被定义为。然后是标识,标识在每个。同时,是标识,标识在每个。
所以是一种同构,的雅可比矩阵,最后的部分定理有关因子的形式和曲线明显是由于这一事实的转换和是翻译的。

最后,我们制定以下推论是霍伊特的结果(2]。

推论14。让阿贝耳簇,一个充足的因子,一个1循环,数值相当于与。然后定理的结论13适用。

证明。我们有,所以。另一方面,从命题6(c),生成1循环因此吗是一个生成1循环。现在一切都是定理的结果13。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。