文摘

我们认为一个问题的稳定序列的多值映射的不动点集上定义一个度量空间收敛于一个极限函数的收敛性是关于Pompeiu-Hausdorff距离。序列的成员认为是多值几乎收缩。我们表明,这种序列的映射的不动点集是稳定的。

1。介绍和预赛

有各种各样的稳定性的概念,无论是在离散和连续动力系统(1,2]。这是一个动力系统与限制行为的概念。在本文中,我们考虑一个问题相关的稳定性对度量空间的多值映射序列。映射序列的限制行为被认为是在许多论文在最近的时间,为实例,在3- - - - - -5一致收敛下的混沌行为调查。特别是稳定的不动点集被认为是在6- - - - - -10]。

在这里我们的兴趣在于稳定不动点集的收敛序列的多值映射,也就是,他们是如何相关,在极限情况下,函数的不动点集的序列收敛。我们说的不动点集稳定收敛时的Pompeiu-Hausdorff距离限制函数的不动点的集合。往往在上面提到的稳定问题,多值映射序列。这背后的原因之一是,多值映射不动点往往比单值。例如,在小纳德勒定理。3),这是巴拿赫收缩原理和多值泛化,顺便说一句,这也是第一个工作出现在多值收缩定点研究,不动点并不是唯一的与单值巴拿赫的收缩在完备度量空间中。在这种情况下不动点集变大,因此,研究更有趣的稳定。

几乎收缩概括巴拿赫的收缩。它是由Berinde[介绍11,12]。

在本文中,我们研究不动点集的稳定性问题的一致收敛序列套价值几乎收缩。

以下是一些概念,定义,和结果的基础上,我们发展我们的主要结果。

让是一个度量空间,让类的非空的关闭,有限的子集。为、功能和定义如下:

如果,那么我们写和。此外,如果,然后和。很明显,。对所有的定义,收益率以下(13,14很明显:

让是一个度量空间,让所有非空的封闭的家庭和有界的子集。Pompeiu-Hausdorff距离(15]是定义在通过 在哪里和

我们回想一下,一个函数序列,,一致收敛一个函数如果对于每一个有一个整数这样意味着对所有。

让是一个度量空间,让是所有的子集的家庭。让是一个映射;一个固定的点的是这样的,。

我们表示作为一组固定的点

我们的目的是建立一个稳定不动点集的结果序列的广义多值几乎收缩。这样一个收缩的不动点集非空的定理2这是最近的结果由于Choudhury和Metiya [16]。非平凡的例子提供了上述类型的收缩(16]。

定义1。让完备度量空间。让是一个多值映射。被称为广义多值几乎萎缩如果 对所有,在那里和是不减少的和连续函数为每一个

上面的映射实际上属于弱Picard运营商已被认为是在17- - - - - -21例如,]。

下面的定理的结果由于Choudhury和Metiya [16]。

定理2。让完备度量空间。让是一个广义多值几乎萎缩;也就是说,满足 然后有一个固定的点。

纳德勒Jr。3)建立以下引理。

引理3(见[3])。让是一个度量空间。让。然后,为每个,存在这样。

事实上,Choudhury Metiya [16证明了定理的结果指出2在半序度量空间和一些附加条件。这里我们定义了度量空间没有订购工作。

2。主要结果

定理4。让完备度量空间,让是两个多值的广义几乎相同的收缩和,在那里满足以下附加条件:与作为。然后
,在那里

证明。由定理2,和非空的。
让是任何数字。由引理3,因为,存在这样 我们构建一个序列,所有,。然后 由(4), 然后,,, 然后重复应用 因此, 这意味着是一个柯西序列。
自完成,作为。考虑 采取限制在上面的不平等和属性的,我们有 这意味着自是封闭的,所以
我们现在使用三角不等式 因此,给定任意,我们可以发现的 扭转的角色和我们还认为,对于每个,存在和这样
从上面的定义,从Pompeiu-Hausdorff距离,我们得出结论: 这就完成了证明。

引理5。如果是一个序列一致收敛的多值广义几乎收缩,然后是一个多值的广义几乎萎缩。

证明。因为每一因此,多值的广义几乎萎缩吗 现在,采取限制我们得到了 因此结果。

定理6。如果是一个序列一致收敛的多值广义几乎收缩,那么的不动点集是稳定的;也就是说,

证明。 收敛于统一在。
因此,通过引理5,是一个多值的广义几乎萎缩。
让
自统一对Pompeiu-Hausdorff距离,因此。
然后,从定理4,我们获得 这证明了定理。

例7。让,在通常的指标。让被定义如下: 让被定义为 让。然后是多值的广义几乎萎缩。
我们也观察到作为,在那里。
现在所有的,,尽管。
因此我们有和。一个人。考虑 让;然后
它也观察到和
因此,我们得出这样的结论:作为关于Pompeiu-Hausdorff距离。那么所有定理的条件4和6感到满意,验证上面的例子。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。