的某些子类的系数界-折叠对称双单价函数

摘要

我们考虑两个新的子类和的由分析的和开单位圆盘中的对称二单价函数．此外，我们建立了这些子类的系数的界限，并考虑了几个相关的类，并与以前的已知结果进行了联系。

1.介绍

让表示该形式的函数类 在开单元圆盘中哪些是解析的,让的子类由表格(1)也是单价的．

Koebe 1 / 4定理[1]指出在每个函数从包含一个半径的圆盘因此，每一个这样的单叶函数都有反函数满足 在哪里

函数是二价的吗如果两个和是单价的．让表示在单位圆盘上定义的一类二价函数．

在课堂上简单介绍一下历史和有趣的例子,2］.函数的例子是 等等。但是，熟悉的Koebe函数并不是其中的成员．中函数的其他常见例子如 也不是(见[2])。

为每一个函数、功能 是单价和映射单位磁盘吗进入一个地区倍对称。一个函数被称为-折叠对称的(参见[3.，4])，如果它具有以下规范化形式:

我们表示的类中对称单叶函数，由级数展开(7）.实际上，函数在课堂上是一个倍对称的。

类似于-折叠对称单叶函数，我们在这里引入的概念-折叠对称二单价函数。每个函数生成一个-fold对称的双单价函数．的标准化形式，如(7的级数展开，最近被Srivastava等人证实了[5]，给出如下: 在哪里．我们表示的类中对称二单价函数．为公式(8)与公式(3.)的类．的一些例子-fold对称二单价函数的定义如下:

列文(6研究了一类二单价函数，得到了第二系数的模的界为1.51．随后，Brannan和Clunie [7推测,为．之后,内塔尼亚胡(8)表明,如果．Brannan和Taha [9引入了二单叶函数类的某些子类类似于我们熟悉的子类。和是星形和凸阶函数，分别(见[8])。类和双星有序函数以及二阶双凸函数，对应于函数类和，也作了类似的介绍。对于每个函数类和，他们发现了对初始系数的非精确估计。事实上，前面提到的Srivastava等人的工作[2基本上恢复了对二单价函数类各个子类的研究近年来。最近，许多作者研究了双单价函数的各种子类的界(参见[2，10- - - - - -15])。一般系数的界是不太清楚的为．在文献中，只有少数作品确定了一般系数的界解析二单价函数(见[16- - - - - -18])。每个的系数估计问题仍然是一个悬而未决的问题。

本文的目的是引入函数类的两个新的子类并对初始系数进行估计和对于这些新子类中的函数。为了得到我们的基本结果，我们必须记住下面的引理。

引理1(参见[4])。如果解析函数在哪里实部是正的

2.函数类的系数界

定义2。一个函数据说是在上课如符合下列条件: 在函数．

定理3。让由(7在上课，．然后,

证明。让．然后, 在哪里和在有以下表格: 现在，把(13),我们得到 从(15)和(17),我们得到 还从(16),(18)和(20.),我们有 因此,我们有 应用引理1的系数和,我们获得 接下来，为了找到上下限，减去(18) (16),我们得到 那么，鉴于(19)和(20.)和引理的应用1的系数和,我们有 这就完成了定理的证明3.．

3.函数类的系数界

定义4。函数由(7据说他在上课如符合下列条件: 在函数．

定理5。让由(7在上课，．然后,

证明。让．然后, 在哪里和．
它来源于(28), 从(29)和(31),我们得到 添加(30.)和(32),我们有 因此,我们获得 应用引理1的系数和,我们获得 接下来，为了找到上下限，减去(32) (30.),我们得到 那么，鉴于(33),应用引理1的系数和,我们有 这就完成了定理的证明5．

如果我们将在定理3.和5类,然后和减少对类和由此我们得到以下推论。

推论6。让由(7在上课．然后,

推论7。让由(7在上课．然后,

类和分别定义如下:

定义8。函数由(7据说他在上课如符合下列条件: 在函数．

定义9。函数由(7据说他在上课如符合下列条件: 在函数．

为一个-折叠对称二单价函数,定理3.和5减少对推论10和11，分别被Murugusundaramoorty等人证实[19］.

推论10。让由(7在上课．然后,

推论11。让由(7在上课．然后,

利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

参考文献

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