文摘

我们研究一类随机微分方程由半non-Lipschitz系数。新的充分条件在强大的独特性和nonexplosion派生维随机微分方程范non-Lipschitz系数,扩展和改善的结果。

1。介绍

考虑下面的随机微分方程由非线性积分器(或半)的形式 同样 在哪里是一个概率空间,是字段,是一个维有限变异和过程适应函数,是一个维连续局部鞅,一对是当地的特点(毛,1])。

最近,许多研究把重点放在了强烈的独特性和nonexplosion随机微分方程的系数满足当地Lipchitz条件(见Stroock和Varadhan [2和维多3])。然而,结果强唯一性的随机微分方程系数满足non-Lipschitz条件时仍然很少,除了一维情况下(详情,请参阅Ikeda和渡边4)和Revuz和你5])。让随机微分方程的解决方案(1)。如果开车的过程只是布朗运动和地方特点是局部Lipschitzian,普罗特证明解决方案承认连续版本吗(见[6])。当漂移项是独立的令人满意的地方综合条件下,扩散项是单位矩阵、维Rockner证明了解的存在唯一性和路径的随机微分方程在特定区域(见[7])。从应用程序的角度,条件系数应该在多大程度上弱化是一个重要的问题。方和张讨论了pathwise独特性和nonexplosion一类随机微分方程由布朗运动驱动non-Lipschitz系数(见[8])。张使用Zvonkin变换,研究了解决方案的同胚的性质与non-Lipschitz多维随机微分方程的系数(见[9])。当扩散系数均匀非简并和non-Lipschitz漂移系数局部可积,张还证明了独特的强解的存在的爆炸时间随机微分方程。此外,两个nonexplosion条件(见[10])。戴维证明了随机微分方程的解的唯一性,当漂移项是有界波莱尔函数和扩散项是单位矩阵(见[11])。范使用Gronwall引理,研究解的存在性和唯一性与non-Lipschitz系数模糊随机微分方程,讨论了模糊随机微分方程初值的依赖(见[12])。罗研究小子集下流动的行为产生的普通和随机微分方程的系数满足某些non-Lipschitz条件(见[13])。进一步,与non-Lipschitz系数由布朗运动驱动的随机微分方程,局域网证明pathwise独特性和nonexplosion派生新的充分条件(见[14])。注意,很少有结果关于半。最近,范证明了随机微分方程的解决方案(1)没有爆炸,当本地的特点和满足下列条件: 在哪里是一个常数,是一个严格的积极功能满足下列条件:(我) 。(2) 。(3) 。pathwise独特性的随机微分方程(1)也证明了,在下列条件: 在哪里是一个严格的积极函数满足的条件(我) ;(2) ;(3) 。,(15]。隐蔽地,曹证明解的存在唯一性和pathwise SDE由一类特殊半鞅项系数时non-Lipschitz和满足他的条件(见[16])和阳建立了pathwise独特性的SPDE non-Lipschitz系数(见[17])。

在这篇文章中,我们推导出新的充分条件的独特性和nonexplosion强劲维随机微分方程(1)由半non-Lipschitz系数,新的条件在某种意义上。有关鞅的理论将被发现在4,5,18]。

本文组织如下。节2,我们推导出新的充分条件,并证明随机微分方程nonexplosion (1)。节3下,我们证明了pathwise独特性一些新的充分条件和随机连续性。

2。没有爆炸的解决方案

在本节中,我们证明以下nonexplosion随机微分方程的结果(1)。让随机微分方程的解决方案(1), 是解决方案的生命周期的过程吗。

定理1。让是一个功能满足下列条件:(我) 。(2) 。(3)对于任何,存在这样,。 是一个积极和进步的可测函数,满足 如果条件 成立,那么随机微分方程(1)没有爆炸。

证明。定义 根据的连续性和,存在这样条件(7)对对于任何。让;然后, 由于(iii)的条件(7),我们知道存在这样为或。很明显,这个函数不是连续的;因此,伊藤公式不是申请。现在这样, 事实上,存在任何;我们可以 和,。
让;定义 然后作为。让 如果,那么我们就有 在哪里。请注意, 和随机共变是由 伊藤公式(15)和(16),我们有 以期望为(17根据()和7)和(14),我们有 为由于(14),我们有 为指出,为或,我们有 结合(19)和(20.),它认为 因此, 让,由引理,我们有 如果,然后存在这样;取在(23);我们有,这是不可能的,因为。

3所示。Pathwise独一无二的解决方案

在本节中,我们将证明以下pathwise唯一性结果;当布朗运动驱动过程,这样的属性,研究了non-Lipschitzian系数(8]。

定理2。让,,是一个积极的和连续函数在一些十字路口,和是一个积极和进步的可测函数满足吗 如果和满足的条件 然后随机微分方程(1)pathwise唯一性。

证明。让和,在那里和是随机微分方程的解决方案(1)相同的初始值。让;定义的函数如下: 很明显,对于任何,我们有 因为 我们得到的结论是一个凹函数。让 然后是一个负值的随机测量分配意义上。
让;伊藤公式,我们有 请注意,,;应用假设(25),以期望为(30.),我们得到 让在不平等(31日),我们有。这意味着,对于任何考虑到, 如果,然后有一些足够大,这样。由(32),为所有,。此前,,的定义,这是荒谬的。因此几乎可以肯定,对于任何考虑到,几乎可以肯定。通过样品的连续性,无法区分两种解决方案。

备注3。的证明方法15这里没有合适的。事实上,让;我们得到了;由(30.)我们知道 请注意,可能是无界的,这样Gronwall引理不能使用。

通过上述pathwise独特性,我们还可以获得以下连续性的结果。

定理4。假设系数和满足的假设(7)和(25)。让的解决方案,剖析1)与初始值。然后,对任何,一个

证明。考虑和令人满意的;让 定义;让函数中定义定理2。伊藤公式,我们有 在哪里是一样的(31日)。让在上面的不平等;它认为, 所以 然后我们可以获得 作为。完成证明。

备注5。我们应该指出,的结果(定理1和2)15]本文结果(定理的特例1和2)。事实上,让,(相应的函数的15]);很明显,满足条件(7)和(25),分别。因此,本文的结果包含的结果(15]。更重要的是,只需要连续性定理2;然而,必须在[微分函数8,15),我们的证据是更多的指令。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者深深地感谢匿名裁判很好和有用的建议,改善纸张的演讲。这项工作是由博士科研启动基金(批准号109 - 400211411)西安理工大学。作者欣然承认支持。