文摘

探讨了重量分布的周期性误差,然后在边界最优情况下的奇偶校验位(,)线性码纠正所有周期性的错误在第一块长度和所有周期性误差在第二块长度也没有其他人。进一步,我们将研究扩展到错误时,周期性的错误形式的秩序(和)在两个或更多的子群。

1。介绍

在编码理论中,许多类型的错误模式被认为是和代码构造相应的战斗这样的错误模式。周期性的错误是一种模式,在通道错误像天体摄影术1),陀螺仪和计算机断层扫描(2]。发生这样的错误由于定期发生的干扰。因此,有必要研究此类错误和开发代码处理这些错误。正是在这种精神,规范检测/纠正这些错误研究了Das和Tyagi3,4]。一个周期误差定义如下。

定义1。一个周期误差是一个向量的非零组件位于在代码向量改变立场和它的起始位置的数量是第一批组件。

为,订单1的周期性误差向量错误可能发生在1日,3日,5日、职位或2日,4日,6日,…,职位。例如,在一个向量长度8日周期类型的订单1的错误是10101000,00101000,0010101,10101010,10001010,01010101,01000101,00000101,00000001,等等。

为,周期性的错误订单2看起来10010010,10000010,00010010,01001001,01000001,01000000,00001001,等等的向量长度8。

完美的代码是最好的代码之间的线性编码自参数满足球体填充(或汉明)绑定(5,6]。这是一个巨大的挑战等数学家寻找代码在过去数年。最终证实,没有完美的代码以外的单一纠错汉明(5编码,纠错的两倍和三倍戈利代码(7),重复的代码(参见Tietavainen [8],Tietavainen和Perko [9),和范线头10])。

完美的代码我们指的是能够纠正所有的线性码t或更少的错误,没有他人。

之后几次给找到代码通常意义上的不完美,但纠正某些类型的错误模式。这些代码被称为优化代码。沙玛和采掘带11)是第一个试图找到这些代码。在文献[12),Dass和Tyagi探索一种新型的二进制优化代码。类似的完美的代码也是研究[13]。

此外,数学家们也开始找到代码本质上是相反的,完美的代码。这些代码被称为anti-perfect代码。在这个方向上,试图在文献[14由Sharma)等。这些代码正确错误和更多的,没有其他人。

针对这些研究,介绍了线性最优码了正确的所有周期的错误订单在第一块长度和所有周期性误差在第二块长度也没有其他人。然后研究已经扩展到案件时,在第一块长度错误订单的形式吗或多个第二块长度错误订单的形式吗或者更多,没有别人。他们被称为anti-optimal代码。

本文还介绍了重量的结构周期性空间中的错误元组在。重结构的研究为不同类型的错误模式是相当感兴趣的许多研究人员。得到不同的结果在这个方向(例如,15,16])。

本文组织如下。部分1是介绍。节2,我们目前的最低重量和体重的结构周期性空间中的错误元组。节3研究最优编码正确所有周期性的错误在第一块长度和所有周期性误差在第二块长度也没有其他人。部分4礼物anti-optimal代码上面提到的研究。

2。周期误差的权重

在编码理论中,一个重要的标准是要寻找最小的重量和结构重量的一组向量。以下定理(相当于普罗金绑定(17],定理4.1,彼得森和韦尔登6)结果在那个方向。一个向量的重量被认为是在汉明的感觉。

引理2。让表示所有周期的总重量错误在所有的空间元组在。然后, 在哪里()。

证明。我们第一次计数周期的错误订单的总数与重量在所有的空间元组。
考虑一个周期性误差。职位的数量周期性误差的秩序可能发生的是在哪里(),(指Tyagi和Das (4])。因此,周期性的错误订单的总数与重量是由 然后,

定理3。一个周期的最小重量误差在的空间元组是最多 在哪里,。

证明。周期性的错误订单的数量在的空间元组在是由 利用引理2,所有周期的总重量错误的订单是由 以来的最低重量元素可以有最多的平均体重,上界的最低重量周期性误差是由

在传输的过程中,周期性的扰动引起的周期性误差。但很有可能,在这种周期的所有周期组件错误可能不会受到影响;也就是一些数字接收正确而另一些损坏。针对这一点,我们有以下结果定期错误与重量(没有证据)。

引理4。让表示所有周期的总重量错误的重量或更少在所有的空间元组。然后, 在哪里,。

定理5。一个周期的最小重量误差这是重量或更少在的空间元组是最多 在哪里,。

3所示。优化代码

Das (18)研究了线性代码纠正所有周期性的错误在第一块长度和所有周期性误差在第二块长度如下。

定理6。奇偶校验位的数量线性代码纠正所有周期性的错误在第一块长度和所有周期性误差在第二块长度总是满足 在哪里和()。

在考虑不平等的平等(10)为我们提供了最佳的情况下;也就是说, 在哪里,,,。

我们现在给一个线性代码的一个例子纠正所有周期性错误订单2的第一块长度6和周期性的错误订单1在第二块长度4和没有其他错误。

例7。通过将,,,在、平等(11)产生()线性代码。考虑下面的矩阵: 从上面的矩阵获得的代码作为一个奇偶校验矩阵是一个()线性代码。这段代码可以纠正所有周期的错误订单2的第一块长度6和所有周期性错误订单1在第二块长度4,没有别人。我们在表1所有误差向量及其对应的症状可视为所有明显的和详尽。

4所示。Anti-Optimal代码

在本节中,我们将获得绑定线性代码纠正所有周期性的错误在第一块或更多的长度()和所有周期性误差在第二块或更多的长度(),没有其他错误。绑紧,我们获得anti-optimal代码。代码anti-optimal代码在某种意义上,他们是正确的所有周期性的错误在第一块或更多的长度和所有周期性误差在第二块或更多的长度也没有其他人。首先,我们证明下面的引理。

引理8。如果()表示周期性的错误订单的数量甚至更多的空间元组在,然后 在哪里和。

证明。为,就不会有周期中常见错误的错误订单以上除了单一错误。让是周期性的错误订单的数量。然后, (指Tyagi和Das (4])。
因此 在哪里
让。因为任何周期性误差是订单的周期误差因此我们有 让。自代表一个错误和所有单一错误出现在周期的任何顺序错误,所以通过计算周期的错误订单的数量或者更多,我们的价值到。同样,任何周期性误差是订单的周期误差。因此

定理9。奇偶校验位的数量线性代码纠正所有周期性的错误在第一块或更多的长度()和所有周期性误差在第二块或更多的长度(),至少是没有其他错误模式 在哪里和给出引理8。

证明。这个证明是基于计算错误的数量高于特定类型与可用的叠合组和比较线性代码。
由引理8,我们有以下。(一)周期性的错误订单的数量在第一块或更多的长度是。(b)周期性的错误订单的数量在第二块或更多的长度是。
因此,错误的总数,包括零向量 因此 因此定理的证明9就完成了。

现在不平等的平等(21)为我们提供了最优的情况。通过考虑平等(21),我们得到 为和,(22)成为

示例10。为,,,(23)产生二进制()线性代码。奇偶校验矩阵是下面的代码是一个周期性误差纠正anti-optimal代码纠正所有周期的错误订单2个或更多的第一块长度3和所有周期性错误订单2个或更多的第二块长度为6的,没有其他人。考虑 它可以从错误验证模式症状表所示2。

例11。为,,,(23)产生二进制()线性代码。奇偶校验矩阵是下面的代码是一个周期性误差纠正anti-optimal代码在两块正确的所有单个错误的第一块长度6和所有周期性错误订单3或更多在第二块长度9。也可以验证错误模式综合症表。考虑

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

承认

作者要感谢裁判的论文的仔细阅读和有价值的建议。