文摘
我们证明新的宽松一双Sawada-Kotera方程,Hereman,们最近发现·海克曼和Goktaş,和著名的老松懈对这个方程,考虑零曲率的形式表示,相互计相当于当且仅当非零的光谱参数,而对于零nongauge转换光谱参数是必需的。
1。介绍
最近,有趣的结果获得了由Hickman et al。1]。原来Sawada-Kotera方程(2,3] 拥有两个不同的松懈操作员形式表示 下标的标量函数在哪里和表示各自的衍生品,和表达的线性微分算子在导数算子的权力,是光谱参数。第一个宽松的一对,由运营商 是众所周知的4,5]。第二个宽松的一对,由运营商 是新的,因为它出现在[1]在文献中第一次。
许多专家,根据他们的私人通信,注意到第二个松懈对(4)与第一个松懈对(3)的转换 匕首表示厄密共轭。这个变换(5)总是把一双宽松的一个可积方程变成一双宽松相同的方程,但通常产生的松懈对本质上与原来相同的形式(我们相信因为这个原因没有第二个松懈对被发现在1]Kaup-Kupershmidt方程,特别是)。让我们注意,然而,宽松双(3)和(4)在形式是不同的。其他一些专家,也根据他们的私人通信,发现旧的松懈对(3)和新的(4通过变换)是相互关联的 对应转换制造(2)。因此,存在(至少)两种不同的方式联系松懈对(3)和(4)彼此,我们相信这一点值得进一步调查使用更一般的描述比他们松懈对运营商的形式。
在本文中,我们研究这两个松懈对Sawada-Kotera方程(1)——旧的,(2)和(3),新一,(2)和(4)——矩阵形式 或者,什么是相同的,零曲率的形式表示(ZCRs) 在哪里是一个三分量的列向量,和是矩阵,方括号表示矩阵换向器。节2,我们表明,任何非零值的光谱参数,新的宽松一双Sawada-Kotera方程和旧的是相互关联的ZCRs规范变换 在哪里是一个矩阵。节3,我们为任何值表明,光谱参数包括零,新密松懈和旧是相互关联的指标转换(9)结合不同类型的等价转换ZCRs (8);也就是说, 波浪线表示矩阵的转置。部分4包含结束语。
我们使用计算有效的技术,如gauge-invariant ZCRs的描述方法,开发的(6,7独立),循环的基础的方法ZCRs [7,8),并遵循中采用的术语和符号(8]。
2。非零谱参数
介绍了三分量的列向量 我们可以把松懈对(2)与经营者(3)和(4以矩阵形式)(7)。旧的松懈对Sawada-Kotera方程,由操作符(3),对应于ZCR (8)矩阵 在哪里表示的光谱参数 新的宽松一双Sawada-Kotera方程,(2)和(4),对应于ZCR (8)矩阵 在哪里代表光谱参数,是由(13), 我们已经改变了符号的光谱参数(14)因为没有关系的参数(12)和(14)是最初假设。
让我们计算循环基地(7,8ZCRs) (8与矩阵)(12)和(14),以确定是否存在任何障碍与这两个ZCRs计转换
的矩阵由(12)和一个非零的光谱参数,我们发现的八维循环的基础上,组成的矩阵,在那里是矩阵,特征 和协变导数定义的关系吗与任何矩阵。关闭循环方程的基础上, 在这种情况下有以下系数: 在哪里是由(13)。
的矩阵(12),,我们得到了非常不同的情况。在这种情况下,循环基础的维数是5,而不是8。关闭方程 的系数
的矩阵(14),其中包含特征矩阵计算在以下,更一般的方法: 的协变导数定义的关系吗与任何矩阵。循环基础的矩阵有尺寸如果和如果——相同的维度的矩阵。在的情况下关闭方程的系数给出的表达式(19),后更换,因为,表达式(21)——矩阵表达式一样。考虑到循环基地的维度和关闭方程的系数是衡量不变量,我们发现存在的唯一障碍衡量转换(16到目前为止我们发现的条件。这是有道理的,试图找到矩阵(16明确)。
非常方便使用的事实,根据计转换(16),特征矩阵张量和它的协变导数变换(6,7];也就是说, 表示矩阵的元素作为,,我们发现的关系 那 接下来,我们找到的关系 那 然后,关系 让我们 在这一点上,我们可以立即得出这样的条件和持有一定是因为。最后,我们得到 直接从(16),也就是说,与任何非零常数,并获得 与自然的选择在(31日),我们有,逆矩阵不存在的。当然,一个人可以并获得,但在这种情况下,矩阵不存在的。正如我们已经指出的,条件对于表的存在是必要的转换。
因此,两个认为ZCRs矩阵和由(12)和(14计)是相互关联的转换(16)当且仅当,和相应的矩阵是由(31日),可以接受不失一般性。一个可以看到很容易从(9),(11)和(31日),此计转换对应的转换(6)之间的松懈对运营商的形式。另一种认为这在于考虑到在(31日),是一样在(12),因此我们有在(9)由于(7)。
让我们注意,这是一个新的,有趣,也很令人惊讶的现象,两个ZCRs包含一个重要的参数是相互关联的所有值的测量转换参数除了一个值之间不存在表转换这些ZCRs单一值的参数。
3所示。任意的光谱参数
除了计转换(9),但很少有different-quite明显提到ZCRs literature-nongauge类型的等价转换的(8),即转换(10)。让我们试着使用的转换(9)和(10)与两个ZCRs由(12)和(14彼此)。
问题是要找到一个矩阵这样 在哪里 自计不变量循环的基础配合的,我们忽略他们的考虑,进行直接的关系的分析,,在那里被定义为对于任何矩阵,。的关系,我们发现的元素矩阵的以下几点:和。接下来,我们找到的关系那和。然后,关系让我们和,在那里为了有。最后,我们得到直接从(32),设置不失一般性,而获得
因此,两个认为ZCRs矩阵和由(12)和(14组合)是相互关联的转换(32)和(33)当且仅当,和相应的矩阵是由(34)。现在包括零谱参数的情况下。让我们注意,我们被迫使用nongauge变换(10),这显然是一个对应的转换(5),为了掩护的情况下零谱参数,因为这两个研究ZCRs属于两个不同的类测量等价如果光谱参数为零。
4所示。结论
本文使用的方法gauge-invariant描述零曲率表示(ZCRs)和循环ZCRs基础的方法,我们已经表明,新的宽松一双Sawada-Kotera方程,Hereman,们最近发现·海克曼和Goktas,和著名的老松懈对这个方程,考虑ZCRs的形式,相互计相当于当且仅当非零的光谱参数,而对于零谱参数nongauge转换是必需的。作为一个副产品,我们得到一个有趣的例子,两个ZCRs共享相同的组规不变量,但不能被测量转换彼此相关。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者感谢Ziemowit Popowicz,孝Tsuchida,艾伦Fordy,匿名评论者提出宝贵意见。