文摘
本文的目的是介绍两个子类化合价的功能通过使用积分算子和调查各种属性对这些子类。
1。介绍
让表示函数的类下面的形式: 分析和化合价的公开单位圆盘。让类的功能分析在令人满意的和 类介绍了由Aouf [1我们注意以下:(我)类介绍了由Padmanabhan和Parvatham (2];(2)类介绍了丘克(3];(3) 函数的类与正实部大于;(iv) 函数的类与正实部大于;(v) 与积极的实数部分函数的类。
从(1),我们有当且仅当存在这样 众所周知,(4)类是一个凸集。
动机基本上由荣格et al。5],刘和Owa [6]介绍了积分算子如下: 为由(1从(),然后4),我们推断出 它很容易验证(5)(见[6]) 我们注意到,(我)单参数积分算子的家庭是由荣格定义等。5]和Aouf研究[7和高et al。8]。
(2)考虑 的运营商是广义Bernardi-Libera-Livingston积分算子(见[9])。
我们有以下知道子类和类的为,,这是由
接下来,使用积分算子,我们推出以下类别的分析功能和: 我们也注意到, 特别是,我们集和。
下面的引理将需要在我们的调查。
引理1(见[10])。让和,让复值函数满足下列条件:(我)
是连续域;(2)
和;(3)
每当和。
如果分析在这样和为,然后在。
引理2(见[11])。让分析在与和,。然后,对于和, 在哪里是由 这个半径是最好的。
引理3(见[12])。让是凸,让是星形的。然后,对于分析在与,包含凸包的吗。
在这篇文章中,我们获得一些包含类的属性和与运营商相关。
2。主要结果
除非特别提到,在本文,我们假设,,,,。
定理4。一个人
证明。我们开始通过设置
在哪里分析在与,。使用单位(6)(14)和微分方程对,我们获得
这意味着
我们形成了功能通过选择和:
很明显,前两个条件的引理1感到满意。现在,我们确认条件(3)如下:
因此应用引理1,因此为。这就完成了定理的证明4。
定理5。一个人
证明。应用(10)和定理4我们观察到, 这显然证明了定理5。
定理6。如果,然后,广义利比里亚积分算子被定义为(7)。
证明。让并设置 在哪里分析在与。从(21),我们有 然后,通过使用(21)和(22),我们得到 两边取对数微分(23)对,乘以,我们有 这意味着 我们形成了功能通过选择和: 那么显然满足所有属性的引理1。因此,因此为,这意味着。
接下来,我们得到一个包含属性的子类涉及,这是由以下定理。
定理7。如果,然后,在那里被定义为(7)。
定理8。如果,因为,然后为 在哪里,和。这个半径是最好的。
证明。让为,让 在哪里分析在与和为。使用单位(6)(29日)和微分方程对,我们获得 在哪里为。应用引理2与和,我们得到 在哪里是由(28)。这就完成了定理的证明8。
定理9。让是凸函数。然后,在那里。
证明。让。然后 同时,。因此,。通过对数微分(32),经过简化,我们获得 在哪里分析在和。从引理3,我们可以看到这一点包含凸包的吗。自分析在和 然后在于;这意味着。
备注10。把在上面的结果中,我们获得相应结果的操作符。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。