文摘
我们研究形状保留-Bernstein-Stancu多项式在2009年引入了诺瓦克。当,减少的知名1997年伯恩斯坦多项式引入的菲利普斯;当,减少在1968年由Stancu引入Bernstein-Stancu多项式;当,,我们获得古典伯恩斯坦多项式。我们证明基本基础是一个规范化的完全积极的基础和-Bernstein-Stancu运营商variation-diminishing、单调性维护和保凸。
1。介绍
让。对于每一个非负整数,我们定义的整数作为 然后我们定义的阶乘作为 我们下一个定义二项式系数为 为整数,否则为零。同时,我们使用-Pochhammer符号定义为任何
为,,,每个正整数,我们将调查以下2009年-Bernstein-Stancu算子引入的诺瓦克(1]: 在哪里
注意,空产品(61)表示。
在这种情况下,当,减少的知名伯恩斯坦多项式引入的菲利普斯(21997年): 当,减少由Stancu引入Bernstein-Stancu多项式(31968年): 当和,我们得到定义的古典伯恩斯坦多项式
现在,我们回顾和国家的一些基本性质-Bernstein-Stancu运营商。
这是直接从定义-Bernstein-Stancu运营商拥有端点插值性质,也就是说, 和离开不变线性函数:
他们也在多项式程度降低;也就是说,如果是一个多项式的学位,然后是一个多项式的程度≤。
采取,在(11),我们得出这样的结论:
2009年,诺瓦克证明了-Bernstein-Stancu运营商可以表达的差异(1]: 在哪里
与此同时,他还表明,,,
对一个实值函数在一个时间间隔,我们定义要的数量变化的迹象;也就是说, 上确界的接管所有增序列在,尽管。我们说variation-diminishing如果 同样,对一个矩阵,我们说任何向量variation-diminishing如果吗的定义,然后。
让是一个序列的正线性算子。我们说是单调性保护如果增加(减少)的增加(减少)函数在。我们说是保凸如果凸(凹)凸(凹)函数在。
让,,让是基本的序列-Bernstein-Stancu多项式,并表示序列多项式的程度;然后是一个基础(见[1])。因此,存在一个非奇异的变换矩阵从来这样
一个矩阵是完全积极的(TP)如果所有的未成年人都是非负的。众所周知,完全是various-diminishing积极性矩阵。我们说一个序列TP的真正价值函数的区间如果任何点在,搭配矩阵TP是。如果TP是和,(以便其搭配矩阵随机),我们说规范化是完全积极的系统吗。
定理1。为,,-Bernstein-Stancu基础完全是一个规范化的积极基础。
定理2。为,,-Bernstein-Stancu运营商variation-diminishing,单调性保护和保凸。
2。定理的证明1和2
引理3(见[4])。有限的矩阵是完全积极当且仅当它是1-banded的产物与非负矩阵的元素,在一个矩阵被称为1-banded矩阵,如果一些吗,,意味着。
引理4(见[5])。让和的基础是,让的变换矩阵来;也就是说, 如果是完全积极的矩阵和吗是完全积极的系统吗,所以是。
引理5(见[6])。如果序列完全是积极的在那么,对于任何数字,
定理的证明1。我们回想一下,-Bernstein-Stancu运营商是由
在哪里
因此
在哪里,,
显然,从定义我们知道,任意正数,如果序列完全是看好,那么序列。我们想证明在是完全积极的系统,提供证明吗是完全积极的系统吗;我们用和平的方法(见[5])来证明是完全积极的系统吗。为,和固定,我们定义
在哪里,,给出了(24)。显然,对于,
为,它遵循的定义,对于,
和,,
类似地,定义的,我们得到的,
和,,
因此,如果我们让
然后
从(26)和(31日),我们得到
很明显,,,是1-banded与非负矩阵元素。由于函数序列,
完全是看好,(26),(34),前题3和4,我们获得是完全积极的系统吗。定理的证明1就完成了。
定理的证明2。定理的证明2遵循从定理1。从定理1,我们知道-Bernstein-Stancu基础
完全是阳性。由引理5我们获得
这意味着-Bernstein-Stancu运营商variation-diminishing。自-Bernstein-Stancu多项式繁殖线性函数,我们得到任何功能和任何线性多项式,
一个标准的推理基于(38)和端点插值性质收益率单调性维护和保凸(见[7),页287 - 288)。定理2是证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
之一,作者想要真诚感谢她的导师和平王教授和他的细心指导,监督,和病人援助,帮助修改几次后完成论文写作。王教授是、积分和现实。他深刻的知识和学术和工作认真谨慎。所有这些将是学习模式在她未来的工作和学习。作者想说感谢她的同学,一个医生,Xuebo翟。她给作者在论文写作过程中提供帮助。她想说多亏了她的情人;是他的帮助在生活中,使她有足够的时间学习。她想说感谢所有曾经关心和帮助她的人。纸是由中国国家自然科学基金(项目没有。 11271263) and by Education Department Foundation of Hebei Province (Project no. 2011169).