文摘

谐次切距的概念结构几乎次切距指标集合管介绍,Bochner-type公式证明了对于这种情况。条件一次切距谐波结构由谐波保存地图。

1。介绍

灵感来自Jianming的纸1),我们介绍的概念谐波几乎次切距结构和下划线谐次切距之间的关系结构和谐波的地图。众所周知,调和映射的数学在许多领域扮演着重要的角色。他们经常出现在非线性理论,因为相应的偏微分方程的非线性性质。在理论物理、谐波地图也被称为σ模型。的话也调和映射集合管之间具有不同的几何结构研究了在许多地方:Ianus,帕斯托雷的情况下接触指标集合管(2),Bejan Benyounes几乎para-Hermitian集合管(3)领域的局部保形卡勒集合管(4),Ianus等人的四元的Kahler集合管(5),贾斯瓦尔Sasakian导管(6),Fetcu复杂Sasakian集合管(7),李Finsler导管(8),等等。Fotiadis noncompact案例研究,描述的问题找到一个谐波之间的映射noncompact集合管(9]。

让是一个光滑,我们表示维真实流形真正的代数光滑的实际功能,通过李代数的向量场,通过的模块的张量场的类型上。一个元素的通常被称为向量1—构成或affinor。

回忆几乎切几何的概念。

定义1(见[10])。 被称为几乎切结构如果它有一个常数和排名

这一对被称为几乎切管汇。

这个名字是出于这一事实(1)意味着nilpotence正如自然切线切包的结构。表示它导致。此外,如果我们假设是可积的, 然后被称为切结构和被称为切管汇。

从[11我们推断出切线集合管的一些方面:(我)分布定义了一个生叶;(2)存在局部坐标在这样;也就是说,

我们称之为正则坐标和正则坐标的变化是由 另一个方面可以得到描述结构。也就是说,切结构是一个结构与12] 和不变性群矩阵吗;也就是说,当且仅当。

自然几乎切结构的是切结构的一个例子有完全表达式(3)如果的坐标和纤维的坐标吗。一类是获得的二元性例子12):如果是一个(可积)自同态,那么它的双,由为(可积)自同态。

如果条件的定义1很弱,只要求广场,我们叫几乎次切距结构。在这种情况下,。

2。谐次切距结构

让是一个几乎次切距规管汇的维度,也就是说,维光滑流形赋予一个几乎次切距结构这是兼容pseudo-Riemannian度量(例如,,对于任何,,让Levi-Civita连接相关联。考虑到外部切bundle-valued微分和上微分算子定义的—构成通过 为一个标准正交坐标系和Hodge-Laplace运营商:

Jianming研究[1)谐波的一些性质复杂的结构和我们讨论13]paracosymplectic情况。

定义2。一次切距结构被称为谐波如果。

如果紧凑,从定义它遵循了吗谐波当且仅当吗和相当于,对于任何,和,被Levi-Civita连接与pseudo-Riemannian结构有关。

命题3。几乎在一个紧凑的次切距歧管,任何谐波几乎次切距结构可积(即。,it is a subtangent structure).

证明。让,。然后 作为意味着,我们得到 这显示了可积性的。

备注4。正如预期的那样,几乎次切距结构的调和性并不总是保存在保形变换。事实上,让谐次切距结构(对)和一个平滑的积极功能在维管汇,让。然后Levi-Civita连接相关联的是,对于任何,。充分必要条件谐波(对)是 但 相当于第一个关系
采取一个标准正交坐标系字段与,,计算 相当于第二个关系
总之,也是谐波对吗当且仅当

现在我们要看看Bochner-type公式可以写在一个几乎次切距规管汇。

我们知道,对于任何切bundle-valued微分形式,,以下Weitzenbock公式(14]: 在哪里和,,因为一个标准正交场和框架,,黎曼曲率张量场。我们还将使用符号和,,,,。现在,几乎次切距规管汇,以等于,对于任何向量场,我们有

我们可以状态下面的定理。

定理5。让是一个几乎次切距规管汇和假设谐次切距结构。然后Bochner-type公式减少 为一个标准正交坐标系字段与,。

证明。类似的计算在[1)让我们
因此,作为谐波如果,从(17),我们得到

注意,如果只是几乎次切距结构,从这个定理的证明,我们推断出什么

如果紧凑,整合这个关系的规范措施,我们获得以下描述的谐波几乎次切距结构。

推论6。让几乎是一个紧凑的次切距规管汇。然后几乎次切距结构谐波当且仅当吗

例7。关于几乎切结构秩序的存在(例如,those与)球,Rosendo Gadea [15]证明了唯一的球体,承认这样的结构和。此外,他们证明了唯一承认的领域几乎切结构(不同的订单)(订单),(订单),(订单或)。在这些情况下,让和。计算并考虑到,对于任何,从推论6,我们得到

3所示。谐波地图和谐波次切距结构

让和几乎是两次切距度量集合管- - -维,分别。表示由和分别Levi-Civita连接相关联和,分别。

考虑一个平滑的地图,让 是紧张的,在那里是一个标准正交坐标系领域。

8号提案。让几乎是一个光滑之间的映射次切距指标集合管等。然后 为一个标准正交坐标系上维管汇。

证明。表达和替换在左边的关系。

9号提案。让几乎是一个光滑之间的映射次切距指标集合管等。如果对任何,,然后

证明。对于任何,,和,

定义10。一个平滑的地图据说如果它的张力场谐波就消失了。

命题11。让几乎是一个光滑之间的映射次切距指标集合管等。如果调和映射,然后呢 为一个标准正交坐标系上维管汇。
此外,如果任何,,然后 为一个标准正交坐标系上维管汇。

推论12。让几乎是一个光滑之间的映射次切距指标集合管等和谐次切距结构。(1)如果对任何,,然后 此外,如果是满射淹没,那么谐次切距结构。(2)如果调和映射,然后呢 为一个标准正交坐标系上维管汇。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者感谢裁判的宝贵建议他们为了提高纸。她也承认支持的科研补助金pn - ii - id - pce - 2011 3 - 0921。