文摘

我们讨论完整的不变性特性对同胚(CIPH)在各种组包含所有正交小波二重,所有紧框架二重,super-wavelets的长度n,所有规范化严格超级框架小波的长度n。

1。介绍

一个拓扑空间据说拥有完整的不变性特性(CIP)如果每个非空的闭集是固定的点集,对于一些连续self-map在(1]。以防可以选择同胚,据说拥有的空间吗完成对同胚不变属性(CIPH) [2]。这些概念都进行了广泛的研究由Schirmer,马丁,纳德勒,Oversteegen, Tymchatyn,维斯,Chigogidge,霍夫曼。他们研究了这些属性在不同拓扑的保存操作,比如产品、锥和楔产品。他们获得各种空间有或没有这些属性。

最近,Dubey和Vyas以及在3)研究了拓扑完整的不变性的概念属性的设置的一维正交小波和特定的子集。他们注意到一个单位圆的自由动作在并获得每个轨道等距。他们证明了一维正交小波,所有多分辨小波的集合,所有无国界医生组织小波的集合有完整的不变性属性对马丁的同胚采用以下结果2):“一个空间 有CIPH如果它满足下列条件:(我)作用于 自由。(2)具有有界度量,这样每个轨道是等距的 。”

在本文中,我们研究完整的空间不变性特性对同胚,包含所有正交二重在元组形式,,包含所有紧框架与多在元组形式,是super-wavelet长度为,:是一个规范化的紧超级框架小波的长度。的作用在,,我们获得的行动是免费的,但轨道不等距。观察这一事实,我们已经证明马丁上面说的结果也适用于轨道等距有限半径的一个圆。

2。先决条件

为一个通用的可数(或有限)指数集如,,,,一个元素的集合在一个可分离的希尔伯特空间被称为框架如果存在常数和,,这样 最优常数(最大和最小)被称为框架范围。被称为框架绑定和较低称为一个顶架框架的束缚。框架被称为紧框架如果,被称为规范化的紧框架如果。希尔伯特空间中的任何标准正交基是一个规范化的紧框架。注意,对于一个非零元素的一个框架在,下面的不平等是适用的: 在此之前, 这表明一个框架的元素不需要正常,但他们必须有一个上界。

定义1(见[4])。让是一个广阔的矩阵,。然后一个有限集被称为一个正交多小波如果集合是一组标准正交基,为一个使用公约
如果一个多小波包括一个元素,然后我们说是一个小波。由一个广阔的矩阵 ,我们的意思是一个方阵的特征值的模大于。
如果集合是一个规范化的紧框架,准备好了吗被称为规范化的紧框架多小波。同样的,被称为紧框架多小波当上面的集合是一个严格的框架和一个多小波帧当上面的集合是一个框架。
以下结果建立规范化描述多小波紧框架。

定理2(见[5])。假设。然后收集与扩张是一个规范化的紧框架当且仅当吗(我) ,因为,在那里的转置,(2) ,因为和乙醯。。

特别是是一个多小波,当且仅当上述条件对所有。

的傅里叶变换被定义为 在哪里表示真正的内积。

自是一个密集的子集,这个定义独特的延伸。

构造正交小波的方法之一是基于多分辨率分析这是一个家庭的闭子空间满足特定的属性。

让是一个标准正交多小波与扩张有关。

然后 描述了维函数为,在那里的转置。

我们有下面的结果类似于一维的情况下。

定理3(见[6])。一个标准正交多小波是一种MRA多小波当且仅当吗,因为乙醯。。

定义4(见[6])。无国界医生组织(最小频率)支持多小波的秩序l)是一个标准正交多小波这样对于一些可测集,。无国界医生组织多小波的订单1只是被称为一个无国界医生组织小波。
下面的定理MSF二重特征。

定理5(见[7])。一组这样为是一个标准正交多小波的扩张矩阵当且仅当

在[8),汉族和拉尔森的概念引入super-wavelet已应用于信号处理、数据压缩、图像分析。

定义6。假设是规范紧框架小波。人会调用元组一个super-wavelet长度 如果 是一组标准正交基(说,),
汉和拉尔森的回忆录(8)证明,为每一个(可以),有super-wavelet长度。
下面是描述super-wavelet的长度。

定理7。让。然后是super-wavelet长度当且仅当持有以下方程:(我) 乙醯。(2) 乙醯。,,(3) 乙醯。(iv) 乙醯。,。

定义8。一个super-wavelet据说是一个MRA super-wavelet如果每个是一个多分辨小波帧。

定义(见[99])。假设。人会调用元组一个规范化严格超级框架小波的长度如果 是一个规范化的框架。
对于一个self-continuous地图在一个拓扑空间、修复表示所有固定的点的集合。一个点被称为定点的如果。以防豪斯多夫,修复是一个闭集。
从这的不动点定理,由此可见,修复对于一个self-continuous地图盘上的交谈是一个非空的闭集。这个结果被认为是由罗宾斯发现它是真实的10]。这就是导致的概念完整的不变性的财产。在形式上,我们有以下。

定义(见[101])。一个拓扑空间据说拥有完整的不变性特性(CIP)如果每个非空的封闭集修复,对于一些self-continuous地图在。

定义(见[112])。一个拓扑空间据说拥有完成对同胚不变属性(CIPH)如果每个非空的闭集是固定的点集,修复,对于一些self-homeomorphism在。

定理(见[122])。一个空间有CIPH如果它满足下列条件:(我) 作用于自由地;(2) 具有有界等指标,每个单位圆轨道是等距的。

3所示。框架和CIPH多小波空间

从定理12很明显,检查CIPH度量空间我们需要一个自由行动单位圆轨道等距。这个结果并不提供任何信息CIPH结束在轨道的半径不同于团结。

下面我们修改上面的结果表明,如果行为度量空间上的自由和轨道等距有限半径的圆CIPH。

定理13。一个空间有CIPH如果它满足下列条件:(我) 作用于自由地;(2) 具有有界度量,这样每个轨道是等距的,一个圆的半径,在那里对于一些。

证明。让是一个度量空间,让的行动满足条件(i)和(ii)。对于一个非空的闭集在集和定义通过
自如果,接下去。看到是一对一的假设。然后和必须躺在相同的轨道等距圆,,对于一些实数,与。
因此因此,对于一些整数, 三角不等式的应用,,我们有 所以 因此,方程只适用于因此。
自轨道是一个明智的一对一的映射和一个同胚的为本身必须到,它遵循是到。以得出结论是一个同胚足以证明吗是一个封闭的映射。剩下的部分看到定理2.2的证明(2]。

让是一个广泛的矩阵和是一个整数。然后空间 是一个度量空间与自然度量定义为 在哪里和。

定理14。的空间CIPH。

证明。规范化的紧框架的描述多小波(定理2)提供,如果和那么,。为集合形成一个规范化的紧框架。这表明不能一个零功能。因此,函数定义为 是一个免费的吗在。
的连续性在,我们只是观察 在哪里和 的轨道是由 这是等距圆的半径通过地图 它发送来,在那里。因此从定理13由此可见,空间CIPH。

推论15。如果是一个广泛的矩阵和是一个整数,那么空间 CIPH。

证明。请注意,。的限制的行动来是一个免费的行动。的轨道是等距的圆的半径通过地图发送来,在那里。因此从定理13由此可见,空间CIPH。

备注16。让和。注意尺寸的函数,,等于从定理,它遵循3那是一个多分辨小波当且仅当吗是一个多分辨小波。同时,我们注意到是一个无国界医生组织小波当且仅当吗是一个无国界医生组织小波。因此,,正不变集关于拓扑群的作用。这些不变集的轨道保持等距。因此从定理13它遵循的空间,,CIPH。
的紧框架,框架一个和B是平等的但不需要吗。重正化之后,我们可以假设一个=B= 1。如果我们表示 我们有下面的结果。

定理17。的空间CIPH。

定理18。让 然后空间CIPH。

证明。让;也就是说,集合 是一个框架。
然后 对所有,在那里和框架生成的框架的范围吗。
现在,我们证明是一种元素的。也就是说, 对所有。
请注意, 因此我们有 因此,地图 定义为定义和描述了一个自由动作吗在。
的连续性在之前, 在哪里和
的轨道是等距的圆的半径通过地图发送来,在那里;因此,获得的结果。

4所示。Super-Wavelets和CIPH

super-wavelets的概念首次引入和研究8]。由于其潜在的应用在时分多址等多路复用技术和频分多址,super-wavelet吸引了一些数学家和工程专家的关注。在本节中,我们研究了拓扑的概念完全不变性特性对同胚的集super-wavelets和规范化严格超级框架小波。

定理19。让是一个整数。考虑集定义为 然后空间CIPH。

证明。让的一个元素。从定理7由此可见,仍在,在那里。因此,地图 定义为 是一个免费的行动。
的连续性在之前, 在哪里和。
的轨道是由 这是等距通过地图 它发送来。因此从定理12由此可见,空间CIPH。

的话20。如果是一种MRA super-wavelet长度为那么,对于每个,也是一种MRA super-wavelet。因此是一个不变的组对的作用。这些不变集的轨道是单位圆等距。因此从定理12由此可见,空间CIPH。

定理21。让是一个整数。考虑集定义为:是一个规范化的紧超级框架小波的长度为。然后空间CIPH。

证明。让。为我们有 这表明仍在,在那里。
因此,地图 定义为 是一个免费的行动。
的连续性在之前, 在哪里和。
的轨道是等距的,,在那里。因此从定理13由此可见,空间CIPH。

对于一个,真正的矩阵,让和 是统一的运营商定义为 然后我们有以下。

定义(见[229])。假设是扩张单规范紧框架小波。一个调用元组一个扩张规范化严格超级框架小波的长度如果 是一个扩张规范紧框架。
因此从上面定义定理类似的结果21在更高的维度中。

的话23。考虑集 我们有类似的结果中提供的一维正交小波情况下(3]。让。然后产品的空间,缸,在那里实线是单位闭区间,锥吗,暂停国际马铃薯中心。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢博士Niraj k . Shukla数学学科,印度理工学院印多尔,印多尔,印度,他的帮助和建议在小波理论和裁判对他(她)仔细阅读论文的和建议。这项工作是支持CSIR格兰特,新德里,印度。