文摘
这次调查的目的是首先揭示一些特定关系复杂的微分方程和nonnormalized亚纯函数,然后指出他们的一些有用的结果。
1。介绍,符号,定义和动机
众所周知,一个微分方程是一个涉及到一个函数的导数的方程和函数本身。如果涉及到偏导数,方程被称为偏微分方程;如果只是普通的衍生品,方程被称为常微分方程(ODE)。微分方程中扮演极其重要的和有用的角色应用数学、工程、物理、数学和数值机械开发解决微分方程。
我们也知道,歌唱是一个微分方程中未知函数(也称为因变量)是一个独立变量的函数。在最简单的形式中,未知的函数是一个真正的或复值函数,但更普遍的是,这可能是向量值或矩阵值;这对应于考虑系统的常微分方程的一个函数。常微分方程进一步分类根据订单的最高阶导数因变量对自变量的方程。最重要的情况下,应用程序是一阶和二阶微分方程。
理论的微分方程与差分方程理论密切相关,认为只有离散值的坐标,以及涉及到的关系值未知的函数或函数和值在附近的坐标。有许多方法来计算数值解微分方程和微分方程的性质的研究涉及近似理论解微分方程的解对应的微分方程。
在这个工作中,作为小说的调查,我们想关注某些类型的(线性或非线性)一阶复杂的微分方程。特别是,功能和分析在复数域的某些领域,我们要认识到几个类型的某些复杂的方程包括几阶复杂的微分方程 和揭示他们的一些有用的某些复杂的方程(微分)之间的影响和nonnormalized多元函数分析在刺破单位磁盘和磁盘亚纯在单位。对于这些,我们需要提供一些信息和介绍特定的定义。
首先,在这里,在这篇文章中,让是实数集,让是一组复杂的数字,让是正整数的集合,让是开放的单位圆,让是刺穿了单位圆盘,也就是说,和。我们也表示家庭组成的nonnormalized meromorphically多价的功能在以下形式: 分析的领域(在特殊情况)有一个简单的极起源()与残留在那里。
利用函数的属于类当然,这是形式的(2),我们现在定义三个运营商,,分别在以下形式: 在哪里,,,,。
前不久我们已经说过,这个本文的目的首先是确定产生的一些运营商nonnormalized meromorphically多价的功能,在他们的观点,描述一些复杂的方程(微分),然后显示一些有用结果之间的相关方程和nonnormalized亚纯函数和点的后果有关单价的功能。主要结果的证明,一个著名的小说类型的断言生成的米勒和Mocanu (1,页面到三十五]更一般的比杰克的结果(2)使用。此外,研究人员一直在研究这些话题,证明技术相关的一些工作处理(3,4)和(5)可以检查,为例子。
需要我们现在回忆以下断言,在目前的研究。
引理1(见[1])。让假设函数满足对所有,,。如果函数是在课堂上和对所有,然后。
引理2(见[1])。让假设函数满足对所有,,。如果函数是,对所有,然后。
2。主要的结果
在证明主要结果之前,这将是,我们推导出开放形式的应用程序定义的运营商(3)和(4)。出于这个原因,通过应用相关运营商的函数声明(3)和(4),分别以下表达式很容易推导出: 在那里,所有,,,,,,。
我们现在开始通过设置,然后通过证明以下定理有关某些结果导出了同时使用上述运营商一起(4)和引理1。
定理3。让,,,让函数满足不等式 也让函数(独特的)解决复杂的方程 然后, 在上述复杂的权力的价值是被作为其主要价值和操作员吗被定义为(5)。
证明。根据(6)和(5),让我们定义一个函数通过
很明显,一个解析函数在吗和亚纯函数在课堂上,也被定义为在引理1与,
它很容易看到函数域是一个解析函数和解决的复杂的方程(8)。
让
然后它很容易观察到
对所有。此外,对于任何,,,由于我们到达
也就是说,。因此,鉴于引理1假设在(10)的收益率
定理的证明是哪一个4。
的帮助下相关的运营商和引理2,第二个定理(下图)也可以证明。
定理4。让,,,,让函数满足任何不平等 也让函数复杂的方程的解由(8)。然后, 在上述复杂表达式的值被作为其主要价值和操作员吗被定义为(5)。
证明。的帮助下(6)和(5),再定义一个函数在以下形式:
然后,它很容易看到一个解析函数在吗和亚纯函数。此外,属于类类中给出引理1与。平等(18)立即收益率
很明显,是一个解析函数在磁盘吗以及解决的方程(8)。
让
然后,从以下定义:
它很容易看到
对所有。此外,对于任何
,由于
我们得到
也就是说,不属于。
最后,从(18),我们获得不平等
这意味着不平等(17)。这就完成了定理的证明4。
3所示。主要结果的某些影响
定义的操作符(3),(4)和(5)有重大贡献分析和几何函数论(cf,例如,6- - - - - -9),因为他们的特定的结论。对于这些,选择适当的值的参数的定义,一些理性的类型很容易保留功能。例如,可以考虑以下关系: 在哪里和。显然,上述理性类型函数都是多价分析和多价的亚纯在。事实上,在语句(27)和(5),在功能上有涉及到可移动的点的奇异性,它是默认为功能上有这样的奇异点删除。因此,这些也是重要结果几何函数论(cf,例如,6,7),也看到,对于特定的运营商,10- - - - - -12])。此外,如果关注的一个主要结果,几个有用的后果相关的定理3和4可以很容易地显示。他们中的一些处理解析函数理论和其他相关几何函数论。在这一章,只有下面两个属于两个定理的后果表示。揭示了其他可能的后果(这也会感兴趣的分析或几何性质的复杂函数与一个变量),可以选择合适的参数值在所有定理(或在他们特殊的结果)。虽然这些都省略了,研究人员一直致力于这一领域很容易暴露。
通过设置,,在定理3下列命题,也包括亚纯starlikeness域(或在可以首先证明)。
命题5。让,,,,让函数满足下列不等式: 也让函数是解决复杂的微分方程如下: 然后 认为,上述复杂的权力的价值是考虑其主要价值。
通过,,在定理4,下面的命题也包含域内亚纯凸性(或在)可以证明。
命题6。让,,,,让函数满足下列不等式: 也让函数是解决复杂的微分方程如下: 然后 是真的,上面的复杂的权力的价值是考虑其主要价值。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
本研究工作得到了国际研究项目由TUBİTAK(土耳其)的科学技术研究委员会的项目没有。u - 105 t056。