文摘
摘要碱度的标准体重指数系统与线性相位获得水列夫空间。
通过傅里叶方法,在解决数学物理问题的系统经常出现的指数形式 在哪里和或分段连续函数都是连续的。实体化的方法需要研究这些系统的基础属性在勒贝格和索伯列夫空间的功能。在当和是线性函数,这些系统的基础属性,在报纸上,被完全研究[1- - - - - -9]。加权的空间在报纸上被认为是(10,11]。这些系统的基础属性在索伯列夫空间进行了研究[12- - - - - -14]。应该注意的是,关闭问题也被认为是在15]。
在本文,我们研究的基础属性系统(1)和(2)在水列夫空间重量,,在那里是一个真正的参数。于是碱度的问题系统(2)在索伯列夫空间降低碱度的问题系统(1在各自的勒贝格空间。
让和重量是空间与规范 分别在哪里,。表示由直接和,在那里是复平面。这个空间的常态是定义的表达式,在那里。
以下容易可证明的前题中扮演重要角色获得的主要结果。它拥有以下。
引理1。让,;。然后操作员 实现一个空间之间的同构和;也就是说,空间和是同构的。
证明。首先证明算子的有界性。我们有
在应用持票人不平等,因此我们得到
在哪里
因此
在哪里
我们表明,。把;也就是说,
在哪里,。通过区分这种平等,我们得到的,a.e.。因此,。从(11)直接遵循a.e.上,所以。表明,(操作符的值的范围吗)。让是一个任意的函数。让。很明显,和。然后从巴拿赫定理得到运营商有限是可逆的。
引理证明。
下面的引理也有效。
引理2。让和,。然后对所有,在那里
证明。让,。我们有
自和,然后,。很容易看到而且。
引理证明。
在获得基本的结果我们需要以下主要引理。
引理3。让,和,,是一个真正的参数,。让有扩张 在空间。然后是有效的
证明。它遵循从引理2,。首先考虑时的情况,。在这种情况下,系统是最小的(见[4])。然后从论文的结果16),Hausdorff-Young不等式是有效的系统;也就是说,
应用持有人不平等,我们获得
如果,然后,。然后
在哪里,。因此,我们有
自从论文的结果,然后再16它遵循
以同样的方式我们建立级数的收敛性。
考虑的情况下。然后。在这种情况下,系统是最小的因此,从论文的结果16它拥有Hausdorff-Young不平等;也就是说,
在哪里。
从之前的推理得到的绝对收敛级数。引理证明。
定理4。让,是一个加权函数,,,是一个真正的参数,不平等,;持有。然后下面的语句是等价的:(1)系统(2)形成的基础;(2)系统(1)形成的基础。
证明。首先,假设系统(1)形成的基础。让我们证明这个系统形式的基础,在那里,,。
这是足以证明任意元素的有独特的扩张
也就是说,
由于系统(1)形成的基础,然后扩张(23)持有和系数是唯一确定。由引理3该系列绝对收敛。那么很明显,这个号码从(24)是唯一确定。这意味着系统形式的基础。考虑到系统,在那里,,。不难看到
现在,让我们证明反过来。假设系统(2)形成的基础。考虑到系统,。很容易看到,逆算子确定。很明显,这个系统形式的基础。我们有
因此,有一个独特的扩张(22)。因此,我们得到每个有一个独特的扩张形式(23)。事实上,让存在的另一个扩展在:
的绝对收敛级数遵循从引理3。把。很明显,元素的双正交的系数是,在那里。从系统的碱度在我们获得,。这与我们的猜想。这个定理证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者想表达诚挚的感谢教授Bilal t Bilalov对他的关注论文和有价值的建议。