文摘
基于的作品Axtell et al .,安德森et al ., Ghanem副,domainlike,和presimplifiable环,我们引入新的hyperrings称为关联,hyperdomainlike, presimplifiable hyperrings。这些新hyperrings的一些基本性质及其关系。
1。介绍
强副环的研究始于Kaplansky (1和进一步研究2- - - - - -5]。Domainlike戒指和它们的属性被Axtell等人提出了在6]。布维耶Presimplifiable介绍了环的一系列论文[7- - - - - -11),后来研究[2- - - - - -4]。进一步的属性关联和presimplifiable环最近提出的加尼姆(12]。
外部表面的理论介绍了1934年由马丁(13斯堪的纳维亚8日国会的数学家。介绍理论引起了许多数学家的注意和兴趣,理论是现在像野火一样蔓延。规范超群的概念被引入Mittas [14]。一些理论可以找到进一步的贡献(15- - - - - -19]。
Hyperrings本质上是戒指大约改良公理。Hyperrings不同类型的介绍,不同的研究人员。Krasner [20.]介绍了一种超+是一个hyperoperation和在哪里是一个普通的二元运算。这样一个超级称为Krasner超。轮值表(21]介绍了一种超+是一个普通的二元运算,在哪里是一个hyperoperation。这样一个超级叫做乘法超。条款(22介绍和研究了一种超+和hyperoperations。最全面的参考hyperrings Davvaz和Leoreanu-Fotea的书(18]。其他一些引用(23- - - - - -31日]。
在本文中,我们现在和研究助理,hyperdomainlike, presimplifiable hyperrings。这些新的hyperrings之间的关系。
2。预赛
在本节中,我们将提供一些定义,将用于续集。关于副完整细节,domainlike presimplifiable戒指,读者应该看到[1,4- - - - - -6,12]。同时,外部表面的细节和hyperrings读者应该看到[12]。
定义1。让成为一个交换环与团结。(1) 被称为一个副环如果任何两个元素生成相同的主要的理想,有一个单位这样。(2) 被称为domainlike环如果所有零因子幂零。(3) 被称为presimplifiable环如果两个元素与,我们有或。(4) 被称为superassociate环如果每个子环的是关联的。(5) 被称为superpresimplifiable环如果每个子环的presimplifiable。
例2。积分域、domainlike和当地环是presimplifiable环,因此把戒指。
例3(见[6])。很容易检查是presimplifiable当且仅当吗,在那里是一些'。因此,是presimplifiable当且仅当吗是本地的。同样,如果一个戒指quasilocal,那么presimplifiable,因为,独特的最大理想,因此。
定义4。让是一个非空的设置,让是一个hyperoperation,在那里所有的非空的子集的家庭吗。这对夫妇被称为hypergroupoid。对于任意两个非空的子集和的和,一个定义
定义5。一个hypergroupoid被称为semihypergroup如果对所有的一个人,这意味着
一个hypergroupoid被称为quasihypergroup如果对所有的一个人。这种情况也被称为繁殖公理。
一个hypergroupoid这既是semihypergroup quasihypergroup被称为超群。
定义6。让是一个非空的设置,让+ hyperoperation。这对夫妇被称为规范超群如果下列条件:(1) ,尽管;(2) ,尽管;(3)存在一个中性的元素这样,尽管;(4)对于每一个,存在一个独特的元素这样;(5) 意味着和,尽管。
定义7。让是一个非空的设置,让+和hyperoperation和往常一样操作,分别。三被称为Krasner超如果下面的公理:(1)
是一个规范的超群;(2)
作为双边吸收半群在零元素;也就是说,对所有;(3)乘法是分配在hyperoperation +;也就是说,和对所有。
如果是一个高度,和非空的子集的和;然后我们定义
一个超被称为交换超与团结如果是一个交换半群与团结。
对于任何,我们使用而不是。
3所示。副,Domainlike Presimplifiable Hyperrings
在本节中,所有hyperrings将假定为交换Krasner hyperrings与团结。
,,,将表示雅各布森根、nilradical的单位,和零因子的设置,分别。表示零化子的吗。
让是一个超级的子集。让是所有hyperideals家族含有。然后,被称为hyperideal所产生的 。这是用hyperideal。如果,那么hyperideal用。
引理8(见[18])。让是一个超。然后,(1) 是hyperideal;(2)如果有一个单位元素呢。
定义9。让是一个高度,让,,是关系定义如下。(1) 当且仅当,尽管。(2) 当且仅当,尽管和一些。(3) 当且仅当当和,然后。
定理10。让是一个高度。然后,(1) 是一个等价关系,(2) 是一个等价关系,(3) 是一个等价关系当且仅当,,意味着或。
证明。(1)和(2)是显而易见的。(3)假设是一个等价于和假设与。然后,对于一些这意味着。但是,这。反过来很简单。
定义11。如果是一个高度呢在据说是一个零因子如果存在在这样。
定义12。超是一个hyperdomain如果它没有零遗赠人。
示例13。让是一个有限群元素,,定义一个hyperaddition和乘法,通过 然后,是一个高度。
例14。很容易看到的例子13是一个hyperdomain。
定理15。让是一个高度。(1) 意味着,尽管。(2) 意味着,尽管。(3)如果hyperdomain,那么意味着,尽管。
证明。(1)和(2)是显而易见的。(3)假设hyperdomain和假设。然后,这意味着和对于一些。因此,这意味着对于一些这。自是一个hyperdomain,如果,然后,因此,这意味着。因此,。
定义16。让是一个高度。(1) 据说是一个将超如果意味着对所有。(2) 据说是一个superassociate超如果每个subhyperring的是关联的。
示例17。超级的例子13是副超和superassociate超。
定义18。让是一个高度。(1) 据说是一个presimplifiable超如果对所有,意味着或。(2) 据说是一个superpresimplifiable超如果每个subhyperring的presimplifiable。(3) 据说是一个hyperdomainlike超如果所有零因子幂零。
示例19。让,,有三个环,和是一个质数。假设,最大的理想,。让,,的子集定义一个hyperaddition和乘法通过 然后,hyperrings。自,domainlike(见例子3),因此每个hyperdomainlike。
定理20。让是一个高度。以下条件是等价的:(1) 意味着,尽管;(2) 意味着,尽管;(3) 对所有;(4) presimplifiable;(5) ;(6) ;(7)为,意味着。
证明。():它遵循的定义,。
():假设这意味着对所有。然后,意味着,因此,对所有。
():假设对所有和假设。然后,对于一些这意味着。如果,我们必须有。因此,presimplifiable。
():假设presimplifiable和假设。然后,存在这样。但是,这意味着对于一些这。
():假设。然后,对所有。因此,对于一些。现在,意味着,因此,。
():假设和。然后,对于一些这对于一些。自,我们必须有这,因此,。
():假设和。然后,和对于一些。因此,我们有这意味着。因此,。
定理21。让是一个高度。如果presimplifiable quasilocal,那么。
证明。假设quasilocal。然后,有一个独特的最大hyperideal吗和。因此,因此presimplifiable。
定理22。让是一个高度。如果presimplifiable,那么是关联的。
证明。它遵循从定理20.。
推论23。任何quasilocal hyperdomain或超准超。
定理24。让是一个高度。然后,以下语句是等价的:(1) hyperdomainlike;(2) ;(3) 的主要hyperideal吗。
证明。():这是显而易见的。
():让。然后,。如果,然后这对于一些正整数,因此,。因此,是主要的。
(3)暗示(1):假设的主要hyperideal吗。让是任意的。然后,存在这样这意味着。自,我们必须有因此。因此,是幂零。自是任意的,它遵循了吗hyperdomainlike。
让和是任何两个hyperrings和让。对于任何,定义 然后,是一个超级称为直积的和。
定理25。让是一个高度。(1)如果superpresimplifiable hyperdomainlike,那么。(2)如果presimplifiable(副),那么subhyperring的不需要presimplifiable(副)。(3)如果superassociate,那么它不需要presimplifiable。(4)的直接产品superassociate hyperrings不必superassociate。
证明。看到安德森et al。4]。
定理26。让和是任何两个presimplifiable hyperrings与单位的集合。然后,是一个superassociate超。
证明。证明类似于定理2.1的证明(12]。
定理27。让是一个超级hyperideal。主要当且仅当吗hyperdomainlike。
证明。假设是主要的。让。然后,存在这样这意味着这意味着。自是小学和,接下去,我们有因此。因此,,因此,hyperdomainlike。
相反,假设hyperdomainlike。自是一个零,接下去是主要的。
定理28。让是一个高度。如果hyperdomainlike,那么presimplifiable。
证明。从定理证明之前21,因为。
定理29。让是一个高度。如果hyperdomainlike,那么是一个hyperdomain。
证明。假设hyperdomainlike。让这样与。然后,意味着但。对于一些正整数,我们有这意味着。自,我们必须有对于一些正整数。因此,,因此,。因此,是一个hyperdomain。
定理30。让是一个高度。如果hyperdomainlike,那么独特的最小的质数hyperideal吗。
证明。假设hyperdomainlike。然后,。自是所有的十字路口' hyperideals的所需的结果。
定理31。让是一个高度,让的hyperideal。然后,是hyperdomainlike当且仅当吗是一个hyperdomain。
证明。假设是一个hyperdomain。然后,是一个典型的hyperideal的这显然是一个主要hyperideal吗。因此,hyperdomainlike。
相反,假设hyperdomainlike。让这样与。然后,意味着但。自主要在,我们必须有对于一些正整数。因此,对于一些正整数。因此,,因此,。因此,是一个hyperdomain。
定理32。让是一个高度。是hyperdomainlike环当且仅是一个hyperdomain。
证明。证明类似于定理的证明29日。
定理33。让是一个高度,让的总商超。如果是hyperdomainlike也是。
证明。证明类似于古典戒指,因此省略了。
定理34。让是一个高度。是presimplifiable当且仅当每当吗和,然后。
证明。假设presimplifiable和假设与。然后,和这。现在,这意味着对于一些因此和,在那里和这。自,我们必须有因此。
相反,假设与意味着。然后,和。它可以显示。因此,presimplifiable。
推论35。让是一个高度。如果presimplifiable,那么是presimplifiable因此强烈关联。
定义36。让是一个超级hyperideal,让。被称为presimplifiable hyperideal如果,每和,意味着。
引理37。的每个hyperideal presimplifiable超presimplifiable。
证明。这是显而易见的。
定理38。让是一个超级hyperideal。然后,是presimplifiable当且仅当吗对所有。
证明。假设presimplifiable。让,在那里。然后,我们可以写对于一些和。自presimplifiable,我们有什么这。因此,。
相反,假设对所有。让。然后,对于一些。因此,,因此,这。因此,presimplifiable。
定理39。让是一个高度。然后,是presimplifiable当且仅当吗和presimplifiable。
证明。假设presimplifiable。让。然后,有出口这样这这意味着,对于一个正整数,我们有。自,我们必须有所以。因此,,因此,presimplifiable。
相反,假设和presimplifiable。让这样。然后,。很明显,和。因此,,因此,presimplifiable。
定义40。让和是任何两个hyperrings和让的一个映射成。(1) 被称为同态如果(我) ,尽管,(2) ,尽管,(3) 。(2) 被称为好或强大的同态如果(我) ,尽管,(2) ,尽管,(3) 。(3)一个强大的同态从一个超级变成一个超级被称为一个同构如果是双射的,我们写什么。(4)如果从超是一个同态变成一个超级,那么内核的用是一组的形象用是一组。众所周知,是hyperideal和是hyperideal。
定义41。让,,是任何三hyperrings强有力的同态,,维护团结。一组被称为回调的。
引理42。让,,有三个hyperrings和让的回调。然后,是subhyperring和,单位的集合,是。
定理43。让,,是任何三hyperrings强有力的同态,。如果和存在与,然后回调的不是一个准超。
证明。命题的证明类似于证明6 (4]。
定理44。让,,是任何三hyperrings强满射,,没有强大的同构。如果和然后回落,hyperdomains吗的副(presimplifiable)当且仅当分别,,同样,,。
证明。类似于定理的证明证明7 (4]。
定理45。让,,是任何三hyperrings强满射,,没有强大的同构。如果和然后回落,presimplifiable吗的是presimplifiable当且仅当吗,。
证明。证明类似于定理2.3的证明(12]。
定理46。让,,是任何三hyperrings强满射,,没有强大的同构。如果和然后回落,hyperdomainlikes吗的是hyperdomainlike当且仅当吗,。
证明。证明类似于定理2.5的证明(12]。
推论47岁。让,,是任何三hyperrings强满射,,没有强大的同构。如果和然后回落,hyperdomainlikes吗的是联系但不是hyperdomainlike当且仅当吗,,。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
承认
作者想感谢裁判的关键论文的阅读和他们的建议。