文摘

我们定义和研究的一个新类称为正则集 正则集。这些集追究拓扑空间的性质和广义拓扑空间。分解定期正则开集和闭集提供使用 正则集。Semiconnectedness特点是使用 正则集。 连续性,几乎 介绍了连续性和调查。

1。介绍

一般拓扑中,重复的应用内部和闭包算子集产生几种不同的新类。他们中的一些人是开集的广义形式在其他一些所谓的正规集。这些类是发现应用程序不仅在数学,甚至在不同的领域之外的数学领域(1- - - - - -3]。

因此,调查这些集合的势头在最近几天。Csaszar已经提供雨伞研究广义开集在他最新的论文4- - - - - -7]。在本文中,我们介绍和研究的一个新类,调用 规则集,使用semi-interior和semiclosure运营商。最初,我们定义为一个更广泛的类,也就是说,广义拓扑空间和讨论他们的各种属性。相互关系的 常规组与其他现有类,如半开口集,正则开集, 集, 集, 集, 集进行了研究。semiconnectedness还提供了使用的描述 正则集。此外, 常规设置, 研究了广义拓扑空间的使用 正则集。在过去的两个部分, 规律研究了一般拓扑空间的领域。这里几个分解定期正则开集和闭集提供使用 正则集。在上一节, 连续性,几乎 连续性的定义及相互关系 与其他现有的映射如连续性 地图,图映射,几乎precontinuity,几乎 连续性调查。

2。预赛

首先我们回忆起一些定义和使用结果。

定义1(见[6])。让 是一个非空的。收藏 的子集 被称为广义拓扑(简单地说, ) 如果是任意下封闭工会。命令对 被称为广义拓扑空间(简单地说, )。

从一个空的联盟的空集, 总是属于 。然而, 不需要的一员 。的成员 被称为 ——开放的补充 ——开放集被称为 关闭。最大的 ——开放组中包含一组 被称为内部的吗 和用 ,而最小的 闭集包含 被称为关闭 和用 。为 我们有, , 每当 ,我们有 。这些属性将用于文本没有任何进一步提到。

备注2。尽管Csaszar提供广义拓扑的定义,类似的概念存在Csaszar之前的工作。法勒(8)1984年一个类似的结构定义,他名叫“semitopology” 。找到相应的“semitopological关闭”单调,扩大和幂等。一个亚科 电源组 这是下封闭非空的交叉研究文献中“交叉结构”的名义9];相应的交叉结构被称为闭包系统。

定义3。让 是一个 。然后一个子集 的 被称为(我) 半开口(7如果 ;(2) - - - - - - ——开放(7如果 ;(3) - - - - - -preopen(7如果 ;(iv) - - - - - - ——开放(7如果 ;(v) 设置(10如果 ;(vi)定期开放(分别地。,定期关闭)[11如果 (职责。 )。

的补充 半开口(分别地。 - - - - - - ——开放, -preopen, - - - - - - ——开放) 半封闭式(分别地。 - - - - - - 关闭, -preclosed, - - - - - - 关闭)。

定期开放的家庭,定期关闭, 集上 是用 和 ,分别。

所有的交集 半封闭式集包含一组 被称为semiclosure的 和用 。semi-interior双重的 定义的联盟吗 半开口集包含在 和用 。

定理4(见[5])。在一个 与 ,一个(我) ,(2) ,在哪里 和 表示的semi-interior和semiclosure ,分别。

3所示。 在广义正则集拓扑空间

虽然以下讨论广义拓扑空间,这也是有效的拓扑空间的每一个拓扑空间都是广义拓扑空间。

定义5。一个子集 广义拓扑空间 据说是 - - - - - -常规的如果 。

所有的类 正则集 用 。

引理6。广义拓扑空间 , 和 两者都是 正则集。

证明。让 是一个 。然后 。现在,考虑 。如果 ,然后 做完了。如果没有,那么让 最大的 ——开放的 。如果 再一次 和 是 常规。如果可能的话,让 ,然后 是一个 ——开放的 因此 又是一个 ——开放组包含 ,导致矛盾。因此 是 常规。同样,它可以显示 是 常规。

因此可以说,家族之一 常规设置 形成了一个 结构(12]。然而,家庭 不是下封闭有限联盟以及有限的十字路口。

我们有下面的例子。

例7。让 与通常的所有实数集拓扑 。取 和 ;两者都是 正则集。但 不是一个 常规设置,因为 。
同样,把 和 ;两者都是 正则集。但 不是一个 常规设置,因为 。

定理8。每一个 正则集 半开口。

证明。让 是一个 常规设置。 。因此 。因此 是 半开口。

但交谈的结果是不正确的。我们有下面的例子。

示例9。让 与 。然后 是一个 半开口设置,因为 是 ——开放。但 不是 经常因为 。

备注10。的概念 规则集和 ——开放集是相互独立的。同样的, 不同于普通集 - - - - - - ——开放, -preopen, - - - - - - ——开放集。

在示例9上面所提到的,很明显, 是一个 ——开放;因此, - - - - - - ——开放, -preopen, - - - - - - ——开放。但 不是 常规。

例11。让 是所有实数的集合通常拓扑 。然后 是一个 -preopen设定在 作为 。但 不是 经常因为 。

因此 正则集是独立的 -preopen集。

示例12。让 与 。然后 是一个 常规设置。但 既不 ——开放也不 -preopen或 - - - - - - ——开放的 因为 和 。

从上面的例子,因此很明显, 正则集是独立的 ——开放组, -preopen集和 - - - - - - ——开放集。

定理13。让 是一个广义拓扑空间。然后一个子集 是 如果是常规的 半开口, 半封闭式。

证明。让 是 半开口以及 半封闭式。然后 和 。因此 。因此 是 常规。

定理14。每一个正则开集 常规。

证明。让 是一个正则开集。因此 是 ——开放,因此 是 半开口。再次 定期开放,我们有吗 。因此 。因此 是 半封闭式。因此通过定理13,接下去 是 常规。

但反过来上面的结果是不正确的。我们有下面的例子。

15例。在示例12, 是 常规。但 不定期开放吗 。

定理16。每个正则闭集 常规。

证明。让 是正常关闭。因此 是 关闭和 半封闭式。作为 是定期关闭, 因此 。因此 既 半开口, 半封闭式。因此 是 定期在 。

但上述定理的交谈是不正确的。我们有下面的例子。

示例17。让 与通常的所有实数集拓扑 。然后 不是一个正则闭集。但它是什么 常规。

在本节中,我们提供了两个有趣的特征 正则集。

定理18。让 是一个广义拓扑空间。然后一个子集 是 定期当且仅当 。

证明。广义拓扑空间,我们知道 因此,我们有 考虑 。但 ;因此 。因此 。因此, ,因为 (如上所示)。因此 是 定期当且仅当 。

推论19。一组 是 定期当且仅当它是两者兼而有之 半开口, 半封闭式。

证明。从上面的结果,因此,如果 是 常规设置然后 。因此 是 半封闭式。因此结果是在定理的光8和13。

推论20。如果一组 是 定期还那么它的补充 常规。

上述影响可能概略地在图表示1。


图1

我们完成本节提供一些有趣的分解和使用结果 正则集。

定义(见[2113])。让 是一个广义拓扑空间 。 据说是 定期(分别地。 - - - - - -常规的, - - - - - -常规的, - - - - - -常规的)如果 (职责。 , , )。

下面的定理提供了之间的关系 常规设置在哪里 和 正则集。这可能会提到 规则集和 规则集是除了正则开集和正则闭集定义中定义3。

定理22。让 GTS和 。然后每 常规设置, ,是 常规。

证明。让 是 常规。然后 。因此通过定理14,它是 常规。类似地,如果 是 定期,然后 。因此通过定理16, 是 常规。此外,我们知道,一组 定期当且仅当它是一个 定期(13)和一组 定期当且仅当它是 定期(13]。因此每一个 常规设置, ,是 常规。

定理23。让 GTS和 。然后下面。(我) 是 定期当且仅当 是 定期和 关闭当且仅当 是 定期和 关闭。(2) 是 定期当且仅当 是 定期和 关闭当且仅当 是 定期和 关闭。

证明。(我)如果 是 常规然后很明显 是 定期和 关闭这意味着 是 关闭。假设 是 定期和 关闭。然后 ;也就是说, 和 。因此 这意味着 是 常规。
(2)它是类似于(i)。

定义24。一个子集 广义拓扑空间 被称为 - - - - - -关闭(14如果 每当 和 是 ——开放的 ,有限正则开集的工会说 ——开放。

定理25。让 GTS和 。然后下面。(我)每一个 正则集 闭集。(2) 是 定期当且仅当 是 ——开放和 常规。

证明。(我)让 是一个 常规设置。 是任何 ——开放的 包含 , 。自 是 定期,每 正则集 半封闭式的 因此, 。因此 是 关闭。
(2)如果 是 常规的那么明显 是 ——开放和 常规设置。相反,让 是 ——开放和 常规设置。因此 是 半封闭式;也就是说, ;也就是说, 。自 是 ——开放组,因此 是 -preopen因此 。因此 。因此 是一个 常规设置。

一个应用程序的 常规设置的描述semiconnectedness [15]。

定义26。一个广义拓扑空间 据说是semidisconnected如果存在两个 半开口集 和 这样 和 ;否则它叫做semiconnected。

定理27。一个广义拓扑空间semiconnected当且仅当它不包含任何适当的 常规设置。

证明。假设 是一个合适的 常规设置在 。然后 也是一个 因此常规设置。 和 两者都是 半开口设置这样 和 。因此 semidisconnected。
相反,让 是一个semidisconnected空间。然后有两个 半开口集 和 这样 和 。然后 ,一个 半封闭式设置。因此 是 半开口, 半封闭式。因此 是一个合适的 常规设置在 。

我们的调查 域正则集迄今为止的广义拓扑空间。在我们的论文的剩余部分中,我们研究的概念的相互关系 与其他现有的拓扑概念规律。因此,从现在开始,我们把我们的调查域的拓扑空间。拓扑通常约定后,我们表示室内,关闭一组 通过 和 分别在我们的讨论。因为一个拓扑空间也是一个广义拓扑空间,因此本节的结果到目前为止也有效的拓扑空间。

4所示。一些分解利用 常规设置

除了半开口和半闭集,还有其他几个重要的广义形式的开集和闭集拓扑等 设置, 设置, 设置, 设置, 集。在本节中,我们研究 定期在这些集合的光。我们还提供一些有趣的定期开放和常规封闭集的分解使用的概念 正则集。

首先,我们提供以下定义拓扑空间。

定义28。让( )是一个拓扑空间。一个子集 据说是(我)一个 设置(16如果 ;(2)一个 设置(16如果有一个开集) 和一个 集 在 这样 ;(3)一个 设置(10如果存在 和 ,这样 ;(iv)一个 设置(17如果 。

定理29。每一个 正则集 设置和 设置。

证明。让 是一个 常规设置。 。因此 因为 。
因此 是 设置。也 是一个 集,因为 。

但反过来并不总是真实的。我们有下面的例子。

30例。让 与拓扑结构 。然后 是一个 集,因为 。但 不是 经常因为 不是半开口 。

例31。让 与拓扑结构 。然后 是一个 设置为 。但 不是一个 常规设置,因为 。

推论32。每一个 常规组是一个 设置, 设置, 设置。

证明。这是因为每一个 正则集 设置和 设置。

现在,我们提供一些正则闭集的分解使用 正则集。

定理33。拓扑空间,以下是等价的:(我) 定期关闭;(2) 是关闭, 定期的;(3) 是 关闭和 定期的;(iv) preclosed和 常规。

证明。 二世 :他们证明定理16。
二世 三世 :让 是一个闭集;那么它就是 关闭,因为每一个闭集 关闭。
三世 四世 :他们是明显的,因为每一个 preclosed闭集。
四世 :让 preclosed和 常规设置。 是半开口。因此 。自 preclosed,因此 。因此 ,因此定期关闭。

现在,我们继续提供正则开集的分解使用 正则集。

定理34。拓扑空间,以下是等价的:(我) 定期开放;(2) 是开放的, 定期的;(3) preopen和 定期的;(iv) preopen和半封闭式。

证明。 二世 :他们是早些时候证明定理14。
二世 三世 :让 是一个开集。然后preopen是因为每一集preopen开放。
三世 四世 :每一 常规设置是半封闭因此 是半封闭式。
四世 :让 preopen和半闭集。因此 和 ;也就是说, 。因此 。因此 经常是敞开的。

定理35。一组 定期开放当且仅当它是吗 ——开放和 常规。

证明。我们已经证明的定理34每一个正则开集 定期的和开放的,因此 ——开放。相反,让 是 定期的;然后它是一个 设置的定理29日。因此 定期开放,因为一组定期开放当且仅当它是什么 ——开放和 设置(10]。

5。 连续性,几乎 连续性

我们首先回忆以下定义。

定义36。一个函数 据说是 - - - - - -地图(18](分别地。几乎连续(19),几乎 - - - - - -连续(20.),几乎半连续(21),而几乎precontinuous(18)如果 定期开放,(分别地。、开放、 集、半开口和preopen)为每一个正则开集 在 。

现在我们定义 连续性,几乎 连续性在以下方式。

定义37。(一)一个映射 据说是 连续的点 如果对每一个社区 的 存在一个 普通社区 的 这样 。
(b)的映射 据说几乎 连续的点 如果对每一个社区 的 存在一个 普通社区 的 这样 。

一个映射 据说是 - - - - - -连续(职责。几乎 - - - - - -连续)如果是 连续(分别地。,几乎 连续的每一点 的 。

由于每个正则开集是开放的,因此每一个 几乎连续映射 连续。

定理38。对于一个映射 以下是等价的:(我) 是 连续的;(2)逆象每一个打开的子集 是 定期的;(3)逆的每一闭子集的形象 是 常规。

证明。 二世 :让 是任何打开的子集 ,让 。然后 。因此存在一个 常规的子集 在 这样 和 。因此 ;因此 是一个 普通地段 。因此 是 常规。
二世 三世 :让 是任何封闭的子集 。然后 是开放的,因此 是 定期的;也就是说, 是 常规。因此 是 常规。
三世 :让 开放社区的 ;因此 是封闭的,因此 是 常规。因此 也 常规的,因此 (说)。然后 是一个 普通地段 这样 。

定理39。对于一个映射 以下是等价的:(我) 几乎是 连续在 ;(2)对于每一个定期开放社区 的 ,有一个 普通社区 的 这样 。

证明。 二世 :如果 几乎是 连续在 和 经常打开附近的吗 ,然后有一个 普通社区 的 这样 。
二世 :这是显而易见的。

定理40。对于一个映射 以下是等价的:(我) 几乎是 连续的;(2)逆象每一个定期开放的子集 是 定期的;(3)逆每正则闭子集的形象 是 定期的;(iv)对于每个点 的 并为每个定期开放社区 的 ,有一个 普通社区 的 这样 。

证明。证明是一样的定理38。

定理41。如果 是一个 连续(分别地。,几乎 连续)地图然后半连续(分别地。,几乎半连续)。

证明。让 是任何打开(分别地。,定期开放) subset in 。然后 是一个 常规,因此一套半开口,因为 是 连续(分别地。,几乎 连续)。因此 半连续(分别地。,几乎semicontinuous).

定理42。如果 几乎是一个 连续地图然后以下控制:(我) 是 图当且仅当它是几乎precontinuous;(2) 是 图当且仅当它是差不多的 连续。

证明。(我)让 是一个 地图,让 是任何定期开放的子集 。然后 因此preopen定期开放。因此 几乎是precontinuous。
相反,让 几乎precontinuous,几乎 常规的连续映射。让 是任何定期开放的子集 。然后 preopen以及吗 常规。因此 经常是敞开的。因此 是一个 地图。
(2)它是一样的 我 。

的话43。从上面的定理我们可以得出结论,地图几乎是连续的(交流)如果是几乎precontinuous和几乎 连续。

定理44。让 我们是一个函数 被定义的图形功能 ,每 。然后 几乎是 连续的如果 几乎是 连续。

证明。让 和 包含 。然后,我们有 , 。自 几乎是 连续的,存在一个 常规设置 的 包含 这样 。因此,我们获得 因此 几乎是 连续。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

裁判的作者表示诚挚的感谢。提供的建议的一个裁判的表示有了很大的提高。这项工作是一个研究的一部分工作由大学拨款委员会(印度)。