文摘
对称的运营商满足反交换关系的自伴的扩展。这是Glimm-Jaffe-Nelson整流子定理的证明,一个反交换的类型。应用到一个抽象的狄拉克算子也被认为是。
1。介绍和主要定理
在本文中,我们考虑的基本self-adjointness反交换的对称操作符。让希尔伯特空间上的对称操作符;也就是说,满足。据说是自伴的如果和如果关闭基本上是自伴的吗自伴的。我们感兴趣的条件对称算子自伴的。Glimm-Jaffe-Nelson整流子定理(例如,1定理2.32],[2,定理X.36])是一个标准的基本self-adjointness交换对称操作符。换向器定理表明,如果一个对称算子和一个自共轭算子服从上的对易关系稠密子空间,这是一个核心的,然后在本质上是自伴的。从历史上看,Glimm和杰夫3)和尼尔森(4]调查换向器定理量子场模型。法里斯和Lavine5)应用于量子力学模型和Frohlich (6]认为换向器的推广定理和证明了多个换向器公式。在这里,我们综述换向器定理。
让和是线性算子。承担下列条件。 是对称的,自伴的。 存在这样,, 有一个核心令人满意的,存在常数和这样,,
定理(Glimm-Jaffe-Nelson整流子定理)。让和是运营商满足。假设(i)或(ii)如下。(我)存在一个常数这样,, (2)存在一个常数这样,, 然后,在本质上是自伴的。
备注1。换向器的定理,条件(i)通常是应该的。这也是证明条件下(2)类似于定理2。
换向器的证明定理的概念如下。让和是对称的运营商在希尔伯特空间。然后,实部和虚部的内积为表达的是 分别在哪里和。在换向器定理的证明,虚部估计。在定理2,我们证明了一个反交换的对称算子本质上是自伴的在一个密集的子空间估计真实的一部分。
定理2。假设。此外,假设(I)或(II)。(我)存在一个常数这样,, (2)存在一个常数这样,, 然后,在本质上是自伴的。
定理的证明2。我们表明,对于一些,在哪里。让,让。自,我们有 首先,我们假设(I)。让满足。自是一个核心的,它是,(我)和所有, 由(8)和(9),我们有 自,我们有从(10)。然后,我们有。接下来,我们假设(2)。让满足。自是一个核心的,它也遵循从(2)和所有, 然后从(8)和(11),我们有 自和,我们有从(12)。因此,获得的证据。
2。定理的应用2
我们应用定理2文摘狄拉克算子理论(1,7]。让是一个希尔伯特空间。让和上自伴的运营商。假设是有界的,而且,。然后被称为一个抽象的狄拉克算子用统一的退化。我们构建一个抽象的狄拉克算子弱通勤运营商。让和是人口定义的希尔伯特空间上线性算子。疲软的换向器的和被定义为和通过 让,希尔伯特空间,伴算子。集。假设满足以下条件。 是密集的。对所有,,。
让是一个有界自共轭算子满足以下条件。 对所有,,。
让是一个希尔伯特空间。让和有界自伴的运营商满足以下反交换关系: 。
然后,下一个断言。
定理3。让。假设。然后, 是自伴的。
备注4。的情况下强烈的通勤,定理3已经证明([8定理4.3],[9引理6.7])强烈反对易方法(10,11]。
见过,和。然后,从定理3,是一个抽象的狄拉克算子与统一的退化。
为了证明定理3,我们将展示一些前题。
引理5。让,,关闭运营商在希尔伯特空间。假设是密集的和,,。然后是关闭的。
证明。我们可以看到,, 。然后,。然后从一个封闭收获标准(例如,1、定理B1]、[12命题1]),是关闭的。
一个论点的二次形式,存在一个自共轭算子在这样,和所有,
引理6。假设。然后,对所有,
证明。自是积极和自伴的,接下去,。然后,对所有, 通过和(17),我们有对所有。请注意,是一个核心的,因为自伴的。此外,对于所有,,。因此,它遵循对所有。因此,获得的证据。
定理的证明3。自是有界的,它足以证明自伴的。让。我们表明,和满足,(我)定理2。自是对称的,自伴的,是满意的。自和我们看到,, 然后,是满意的。自,接下去。然后,通过我们看到,, 然后,对所有,因此是满意的。由引理6,看到, 然后和(20.),我们有。然后,从(18),它遵循对所有。(我)是满意,因此从定理自伴的2。此外,通过和我们看到,, 然后,从引理5,,因此证明。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
很高兴感谢负责人广岛文雄Akito铃木教授和教授的评论。这项工作由jsp支持格兰特24·1671。