文摘
我们将讨论遍历阴影属性和逆跟踪属性之间的关系地图σ和转变f在逆极限空间。
1。介绍
pseudoorbits和pseudoorbit阴影属性的概念经常出现在现代动力系统理论的几个分支(见[1),通常扮演着一个重要的角色在稳定性理论和遍历理论的调查。作者(2)遍历跟踪连续的概念引入到地图相当于地图拓扑混合和普通阴影属性,推导出具有遍历性阴影映射的混沌行为属性。在[3),作者证明,如果有的话遍历pseudoorbit系统跟踪的一个点在一套积极的低密度,那么这个系统链混合如果它是最小的,那么它是拓扑弱混合所以Li-Yorke混乱。最近,在4),引入了弱遍历阴影属性的概念;作者表明,弱遍历阴影属性相当于遍历阴影属性。如果有遍历阴影属性(ESP),那么它有阴影属性(SP),但我们会看到相反的是不正确的;即有系统跟踪属性没有遍历的阴影属性(参见示例3)。因此遍历阴影属性并不等同于阴影属性。逆极限的地图研究了几十年来,作为一种研究连续和动力系统。在2004年和2006年,Mahavier [5]和英格拉姆Mahavier [6]介绍了逆极限的概念与上半连续集值函数。逆极限是一个有用的工具来研究光滑系统的动态特性;一些动力学性质的可以解释逆极限动力系统的拓扑结构;例如,陈和李7)证明跟踪财产当且仅当吗所以。李(8证明一些动态属性的同时和。在本文中,我们讨论了遍历阴影属性和逆跟踪属性之间的关系为一个满射连续映射在一个紧凑的度量空间和映射的逆极限空间的转变。
2。定义
让是一个紧凑和公制度量空间,让是一个连续的地图。对于每一个,电感的定义,在那里身份映射。为,一个序列被称为- - - - - -pseudoorbit的 如果对于每一个。如果对任何和每一个,有一个有限的-pseudoorbit的这样,,然后被称为一个链从来,被称为的长度吗链。如果对任何和每一个,有一个链从来,然后被称为链传递。而且如果有一个正整数这样,当,有一个链的长度从来,然后被称为链混合。对于任何非空的开集和如果有这样,然后被称为拓扑可迁如果有这样,对于任何,,然后被称为拓扑混合。显然,拓扑可迁(混合)映射链传递(混合)。让被给予。我们写如果对于每一个有一个-pseudoorbit的长度的这样。我们写如果和。一个序列(职责。)据说是追踪在一些点在如果对于每一个整数(职责。对于每一个)。一幅地图据说阴影属性,SP(分别地。),如果任何有这样,每-pseudoorbit的可以在跟踪。让是所有双边的紧致度量空间序列在,赋予产品拓扑。为一个常数和,让表示的集合-pseudoorbits的。一个映射令人满意的,,据说是一个方法对。为了方便起见,写为。
据说是反跟踪用ISP(分别地。正逆跟踪属性,如果对任何存在这样,对于任何和任何方法(职责。)有这样,尽管(职责。对所有)。
给定一个序列(职责。),将 (职责。),(职责。)。
对一个序列(职责。)和一个点的,把(职责。),(职责。(职责。)被称为遍历pseudoorbit为如果(职责。。一个遍历pseudoorbit据说各态历经的阴影由一个点在用ESP(分别地。)如果(职责。)。对于一个不变集 ,我们说有遍历(或阴影属性 是遍历shadowable )如果对于每一个存在这样,每遍历pseudoorbit在可能是遍历一个点在。下面的引理证明(2]。
命题1。假设是一个连续的紧致度量空间上映射和满射。动力系统(),以下属性是等价的:(a)遍历shadowable和(b) shadowable拓扑混合。
我们这里不记得拓扑熵的定义,因为它是众所周知的(例如,看到9])。对于我们的目的只是要记住拓扑熵是一个数字每传递地图它至少是(见推论3.6 (10])。众所周知,每一个一维的紧凑的连接管汇是同胚的或。下列命题表明不存在同胚或特别是因此本文空间不能一维连接紧凑的空间。
命题2。(1)不存在同胚拓扑混合。
(2)每一个同胚熵值0。
证明。我们证明项目但(2)从定理7.1411]。让是一个连续满射映射拓扑混合。自上,存在吗这样。让。选择开放时间间隔这样,每一个和,。开放时间间隔存在这样,如果,然后和。因此存在和这样和。因此使用介值定理存在这样;因此不是一比一。如果或,因为拓扑混合,很容易看到,存在另一个固定的点;因此,在任何情况下,不是一比一。
我们知道,如果遍历阴影属性,那么它有一个链组件和SP。但反过来是不正确的。看到这我们使用的一个例子12]介绍地图shadowable但没有遍历阴影属性。
例3。让,以下指标: 让是一个集合的排列对于一些。让如果,否则。是一个同胚和每一点的是一个周期点吗。让是任意的,考虑。然后当且仅当,在那里。因此当且仅当。因此,链的组成部分因此,单身吗没有遍历阴影属性。但人们很容易看到有阴影的财产。
命题4。如果是连续的,只有一个定点端点区间,然后呢有。
为了证明的命题,我们需要以下引理;看到([7])。
引理5。让是一个紧凑的度量空间,让是一个连续的地图。鉴于和,存在这样,每-pseudoorbit满足对所有。
命题的证明4。让每,。对于每一个,让和为;因此和对所有。如果,然后。让;我们有对于每一个和。由引理5为和存在这样,如果是一个-pseudoorbit的,然后;因此。由统一的连续性,存在这样,每-pseudoorbit满足对于每一个和存在这样,如果,然后为。选择;让是一个的方法。如果,然后,我们有。自为,这样。自为,这样。但对于和-pseudoorbit,;这意味着,,。
下列命题证明(7]。
命题6。如果是连续的,只有最后的间隔固定的点,然后呢有阴影属性。
众所周知从[13]同胚的转变有阴影属性当且仅当唯一的键映射。最近在14),作者讨论了极限之间的连接跟踪财产紧致度量空间上的连续映射,映射的逆极限空间的转变。遍历尾随在下一节中,我们认为关系属性(逆跟踪属性)和。
3所示。结果
让是一个紧凑的度量空间。考虑所有双边的紧致度量空间序列,赋予产品拓扑。让是一个连续的地图。然后闭子空间,对所有的与地图相关的转变定义为与对所有被称为逆极限空间的。注意,与指标定义为,是一个紧凑的度量空间。对于每一个定义项目的地图通过对于每一个这样。是一个开放的连续映射和满足对于每一个。
定理7。让是一个连续满射映射在一个紧凑的度量空间。(1)如果有遍历阴影属性,那么转变地图吗在逆极限空间遍历阴影属性。(2)如果有逆跟踪属性,那么转变地图吗在逆极限空间有逆跟踪属性。
证明。鉴于,假设直径并选择这样。统一的连续性意味着存在的一些这样,如果,然后为。
自有遍历阴影属性,对吗,存在这样,每遍历pseudoorbit是遍历由一些点的跟踪。选择这样。让是遍历pseudoorbit为。自序列是一个遍历pseudoorbit为。但存在这样
让为和为;然后。检查,如果是很容易的,然后;也就是说,。因此(2)表明,可以遍历性阴影,。
自有逆跟踪属性,对吗,存在这样,对于任何和任何方法,有这样,尽管。选择这样。假设是一个方法对;我们构造一个方法对如下:让;选择一个点这样。自是一个方法对,因此,,。考虑这样,在那里。很容易看到是一个-pseudoorbit为;因此是一个方法对。自有逆跟踪属性,对吗,这样,存在这样。让这样;然后;这意味着有逆跟踪属性。
上述定理的交谈是不正确的。我们使用的一个例子13)显示,在一般的遍历阴影在并不意味着各态历经的阴影在。
示例8。考虑与,,,,,,这样是线性的在每个子区间的,,,,,,。观察到不跟随没有阴影属性;因此没有遍历阴影属性。此外,一个点当且仅当对所有。因此转变图只有两个不动点;因此,通过命题6,阴影属性,众所周知,改变地图吗拓扑混合(见7.5号提案的9]);因此遍历阴影属性。请注意,不是当地同胚。
我们不知道是否定理的交谈7逆的阴影属性。但我们举个例子有但没有。
示例9。考虑与,,,,,这样是线性的在每个子区间的,,,,。观察到没有,但只有一个不动点;因此,通过命题4,它是积极的反跟踪,。请注意,不是一个地方同胚。
在下面的定理我们表达一些条件下遍历阴影属性和逆跟踪属性在意味着遍历的阴影属性和逆跟踪属性在,分别。
定理10。让是一个本地紧致度量空间上同胚。(1)如果改变地图在有遍历阴影属性呢遍历阴影属性。(2)如果改变地图在有逆跟踪属性呢有逆跟踪属性。
证明。鉴于遍历的阴影属性,存在这样,每遍历pseudoorbit为是在遍历阴影。让=直径;选择这样。是当地的一个同胚;存在与这样是一个同胚,在哪里是附近的在。是均匀连续,对吗;存在这样意味着对所有,。假设是一个遍历pseudoorbit为;让和。如果,然后。这意味着,因此是一个遍历pseudoorbit为。自遍历阴影属性,存在在与。如果,然后,我们得到。现在使用的定义很容易看到遍历阴影属性。鉴于通过逆跟踪属性存在这样,每一个和任何方法为,存在这样。让=直径;选择这样。是当地的一个同胚;存在与这样是一个同胚,在哪里是附近的在。是均匀连续,对吗;存在这样意味着对所有,。让,让是一个方法对。定义这样和;我们有。因此是一个- - - - - -方法,因为有逆跟踪属性;因此,对于存在这样;这意味着;也就是说,有逆跟踪属性。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。