文摘

单值映射的不动点定理提出了使用广义弱收缩条件涉及的各种组合在完备度量空间。我们的结果是一个扩展以及阿尔伯的泛化和Guerre-Delabriere (1997)。它还概括罗迪斯(2001)的结果,Choudhury杜塔,(2000),和Dutta Choudhury, (2008)。

1。介绍

让是一个度量空间。一幅地图是一个收缩如果为每个,存在一个常数这样。

一幅地图是一个- - - - - -弱收缩如果为每个存在一个函数,对所有和这样。

在[1阿尔伯和Guerre-Delabriere引入弱收缩希尔伯特空间的概念。罗迪斯[2)表明,阿尔伯和Guerre-Delabriere证明的结果(2完备度量空间中同样也有一定道理。

在本文中,我们介绍了广义弱收缩条件涉及的各种组合。我们的结果是一个扩展以及阿尔伯的泛化和Guerre-Delabriere [1]和罗迪斯[2尤其是]。它还概括的结果(3,4]。

现在,我们国家罗迪斯如下所示的结果。

定理1(见[2定理2])。让是一个完备度量空间,让是一个弱收缩在这是一个持续和不减少的功能对所有和然后有一个独特的定点在吗。
如果一个人,在那里,然后弱收缩减少收缩映射。
本文介绍了一种新型的不平等与立方条款涉及被称为“广义 弱收缩条件与立方条款涉及 ”。
让是一个度量空间的self-map满足以下条件: 在哪里 是一个真正的号码是是一个连续函数和为每一个。

2。主要结果

引理2。让是一个自我度量空间的映射令人满意的(1)。对于任何序列在定义为,。然后序列柯西在。

证明。让是一个任意点。构造序列遵循 如果对于一些,然后非常有一个固定的点。我们假设,尽管。我们写。
首先,我们证明是nonincreasing序列收敛于。
情况下1。如果甚至,和在(1),我们得到 在哪里
通过使用(3),我们得到 在哪里 现在考虑;然后我们有 在哪里,,。
通过三角不等式和使用财产的,我们得到 然后
如果,然后(8)减少,一个矛盾。因此意味着。
以类似的方式,如果很奇怪,我们可以获得。
它遵循的序列是减少的。
让,对于一些。
假设;然后从不等式(1),我们有 在哪里 通过使用(3),我们得到 在哪里
利用三角不等式和财产的和限制,我们得到 然后,因为是正的;然后的财产,我们得到。我们得出这样的结论:
现在,我们表明,是一个柯西序列。假设,我们假设不是一个柯西序列;然后是我们可以找到两个序列的正整数和这样对所有正整数,
现在, 让,我们得到 现在,从三角不等式,我们有
以限制为和使用(16)和(19),我们有
从三角不等式,我们有
以限制为和使用(16)和(19),我们有 再次利用三角不等式,我们有 采取限制在上面的不平等和使用(16)和(19),我们有
再一次把和在(1),我们得到 在哪里 使用(3),然后我们获得 在哪里 让和使用(16)- (25),我们得到 一个矛盾。因此是一个柯西。

定理3。让是一个self-map完备度量空间令人满意的(1)。然后有一个独特的定点在吗。

证明。从引理2序列是一个柯西。自是一个完备度量空间,那么存在一个点这样
现在我们证明是一个不动点的。
采取和在(1),我们有 在哪里
使用(31日)和(3),我们得到
因此。
然后有一个固定的点。
为了证明不动点的唯一性,我们假设和是两个不动点的。采取和在(1),我们很容易湿草地意味着。因此有一个独特的定点在吗。

推论4。让是一个self-map完备度量空间满足的条件 在哪里 对所有和是一个连续函数和为每一个。然后有一个独特的定点在吗。

证明。 在定理3;我们有结果。

现在我们给出一个例子来支持我们的结果。

例5。让,让通常的指标。让被定义为和。和定义通过。对于任何的价值和,那么很容易验证不平等(1)持有。因此定理3保存好。

承认

Penumurthy Parvateesam没吃是感谢大学拨款委员会,新德里,印度,通过主要研究金融援助项目文件。42-32/2013 (SR)。