文摘
我们研究两个非线性函数的近似重合点Geraghty于1973年推出,沟口健二和高桥(1989年函数)。
1。介绍
不动点理论一直是一个重要的工具解决各种问题在非线性泛函分析以及一个有用的工具,证明非线性微分和积分方程的存在定理。然而,在许多实际情况下,不动点定理的条件太强大,所以不动点的存在是没有保证的。在这种情况下,可以考虑近固定点我们所说的近似不动点。一个近似不动点的一个函数我们的意思是在某种意义上“附近”。近似不动点的研究的一个函数我们的意思是在某种意义上“附近”。近似不动点定理的研究同样有趣的不动点定理。出于本文的Tijs et al。1],Berinde [2)建立一些基本近似度量空间中不动点定理。在最近的一篇论文,戴伊和萨哈(3]研究近似不动点的存在,帝国操作符(4进而概括Berinde的结果(2]。巧合点拥有大量的文学理论,许多概括迄今已出现(见[5- - - - - -11])。本文的目的是定义近似重合点的单值self-mappings获得一些重要结果近似重合点使用由Geraghty[两个非线性函数12在1973年和沟口健二和高桥[]13)(1989年函数)。
2。近似重合点
定义1。让是一个度量空间,,。然后是一个固定(近似不动点)如果。
所有的集合固定的点对于给定的,是用
定义2。让。然后近似不动点财产吗
定义3。让是一个度量空间,让两个单值映射。地图和是巧合如果说,被称为点的巧合和。如果,然后被称为公共不动点的和。
3所示。近似重合点两个非线性映射的结果
在本节中,我们建立的一些结果有关不同类型的非线性近似重合点收缩地图的设置一般度量空间。为了这个目的,我们首先定义两个self-maps近似重合点在度量空间和证明结果近似重合点使用的想法Geraghty-type收缩条件(12]。
1973年,Geraghty [12)(参见[14)介绍了下面的类函数称为Geraghty函数如下。
让表示类的功能令人满意的条件 一个函数的一个例子可能是由为和。我们现在用这个证明我们的结果函数。
定义4。让是一个度量空间,让是两个单值self-maps。地图和据说近似重合点财产提供 或者,同样,对于任何,存在这样 近似重合点的集合和用。
定理5。让是一个度量空间,让是两个self-mappings这样令人满意的 对所有和。然后下面的语句。 和有近似重合点属性,也就是说,。 存在一个序列在这样是一个柯西序列。
证明。让是任意的。自,我们可以选择这样。继续这个过程,我们得到一个序列在如下:
我们将假设对所有,因为如果对于一些,然后每,这意味着有近似重合点从而完成了证明。所以我们假设。然后由(6),
所以。因此,是一个严格递减,有下界的,因此收敛一些吗。不失一般性,我们。然后使用(8),我们得到
现在通过极限(9),我们得到
现在,使用属性的函数,我们得出这样的结论:。假设为,所以。这意味着对所有。自作为,接下去。所以和有近似重合点在。所以遵循。
现在就可以证明是一个柯西序列。让。然后使用的性质从(9),我们有。再次使用(9),我们得到。在这个过程中,我们获得
因此,对于与,它遵循从(11),
自,作为所以是一个柯西序列。因此,遵循。
例6。让与通常的指标,被定义为 也为和。然后你可以检查不平等(6)满意,。还很容易看到,所有定理的条件5感到满意的近似重合点属性。事实上如果我们选择这样与。相反,它是明确的和没有巧合点。
1989年,沟口健二和高桥(13]介绍了函数如下。
一个函数据说是一个功能,如果
很明显,如果是一个单调呢是一个函数。
定义7。让是一个度量空间是一个函数。然后据说是一个如果类型映射
使用这个函数,沟口健二和高桥13]证明了多值映射的不动点定理,它是一个泛化的纳德勒的不动点定理扩展多值映射的巴拿赫收缩原理,但其原始证明是不同的(见[15])。但是我们只限制在证明单值映射的结果。在这方面,我们制定下一个结果函数。的属性和特征函数可以看到[16,17详情)。
现在,我们建立如下近似重合点属性使用沟口健二的概念和高桥()类型映射。
定理8。让是一个度量空间,让是两个单值self-maps这样令人满意的
对所有在哪里是一个函数。
然后下面的语句。(
)
和有近似重合点属性,也就是说,。(
)存在一个序列在这样是一个柯西序列。
证明。类似于定理的证明5并排除。唯一的区别在于的特点函数和函数互为补充。
示例9。让与通常的指标,被定义为 如果我们把定义为,那么所有定理的条件8感到满意。
很容易得出以下推论。
推论10。让是一个度量空间,让是一个单值self-map满意
对所有在哪里是一个函数。
然后下面的语句。(B1)
近似不动点的吗,也就是说,。(B2)存在一个序列在这样是一个柯西序列。
推论11。让是一个度量空间,让是两个单值self-mapping满意
对所有和。然后下面的语句。
近似不动点的吗,也就是说,。
存在一个序列在这样是一个柯西序列。
承认
作者感谢评论者的有价值的建议。