文摘
本文的主要目的是建立明确的界限在某些积分不等式在时间尺度上,它可以被用来作为工具研究的某些类型的积分方程在时间尺度上。我们的结果给出的一些应用程序。
1。介绍
最近,许多作者研究的各个方面使用各种技术(动态时间尺度上的不平等1- - - - - -4]。在这篇文章中,我们获得明确的界限在某些积分时间尺度上的不平等现象。本文我们提供一些基本的时间尺度上的动态积分不等式,可以用作处理工具解决方案的定性行为的特定的时间尺度上的动态方程。可以找到优秀的信息介绍时间尺度(5,6]。接下来,表示实数集,整数的集合表示任意的时间尺度。现在后3,4我们提供一些关于微积分的基本定义两个变量的时间尺度。
我们说rd-continuous提供在每个right-dense点是连续的吗和有一个有限的左路限制在每个left-dense点并将用。让和是两个时间尺度与至少两个点,考虑到时间尺度间隔和为和和。让,,和,,表示向前跳转操作符、向后跳转操作符和δ微分算子,分别和。让点在,点在,一半封闭的有界区间吗,一半封闭的有界区间吗。
我们说一个实值函数在在有一个偏导数关于如果为每个存在一个社区的这样 对所有。我们说在在有一个偏导数关于如果为每个存在一个社区的这样 对所有。这个函数被称为rd-continuous在如果对于每一个,函数是rd-continuous。这个函数被称为rd-continuous在如果对于每一个这个函数是rd-continuous。
引理1。让,,,和非负常数。如果 为,然后 为,在那里 为。
引理2(见[1引理])。让,,和在它的每个变量不减少的。如果 为,然后 为。
2。主要结果
我们的主要结果给出了以下定理。
定理3。让,,,,。如果 为,然后 为,在那里 为和定义为(5)。
证明。定义一个函数通过 然后从(8),,用这个(11),我们得到 在哪里被定义为(10)。很明显是负的,rd-continuous和不减少的,为不减少的。首先,我们假设为。从(12),我们有 现在作为一个引理的应用1我们有 所需的不平等(9从()之前14),这一事实。如果,我们进行上述过程而不是,在那里随后是一个任意常数小,然后传递给的极限获得(9)。下面的定理处理不等式成立于定理的两个独立的版本3。
定理4。让,,,, ,是一个非负常数。如果 为,然后 在哪里 为。
证明。让和定义一个函数右边的(15);然后,,
定义一个函数通过
然后,,,,是不减少的,
在哪里被定义为(17)。
使用这一事实,,,我们有
现在固定和三角洲整合从来,我们获得的估计
保持固定在(22)和三角洲整合从来,我们得到
然后引理2意味着
使用(24)(18)和集成产生的不平等来然后从来为,我们得到
使用(25),我们得到所需的不平等(16)。
定理5。让,,和,,,。如果 为,然后 在哪里 为和中定义的(17)。
证明。定义一个函数右边的(26) 然后从(26)我们有,用这个(28),我们得到 在哪里被定义为(28)。在这里不减少的对,然后从(30.)我们有 现在作为一个应用程序的不等式定理3(31日),我们得到 所需的不平等(27从()之前32)和使用这一事实。
3所示。应用程序
在本节中,我们给不平等在定理的应用4研究特定属性的解决非线性偏积分微分的方程在时间尺度上, 与初始边界条件 在哪里,,。
定理6。假设 在哪里,,中定义的(9)。如果,是任何解决方案(33)- (34),然后 为,在那里被定义为(17)。
证明。解决方案(33)- (34)可以写成 使用(35)(37),我们有 现在应用程序的不等式定理4收益率的估计(36)。
在接下来的结果,我们提供独特的解决方案(33)- (34)。
定理7。假设函数,在(33)满足条件 在哪里和是在定理4。然后这个问题(33)- (34)最多一个解决方案。
证明。让和有两个解决方案(33)- (34),那么我们就有 从(39)和(40),我们有 作为应用程序的不等式定理4与收益率,因此;也就是说,有最多的一个解决方案(33)- (34)。