文摘
提出了一种新的数值方法计算最小强迫项的标准,这样一个两点边值问题承认一个解决方案。该方法依赖于以下步骤。编写强迫项(截断)切比雪夫系列,其系数是自由参数。来自自动微分技术用于解决初始值问题,所以最终的价值获得一系列多项式系数的显式依赖(系数)强迫项。然后最小化问题变成了纯粹的代数,可以通过标准的约束优化方法来解决,例如,使用拉格朗日乘数法。我们提供了应用该算法的平面限制性三体问题为了研究low-thrust转移轨道的规划。
1。介绍
我们考虑一个两点边值问题的非自治动力系统: 在哪里和。我们引入一个新的数值计算方法的最小准则,用截切比雪夫函数可表示的系列,这样(1)承认一个解决方案。为了评估算法的性能,我们把它应用到一个众所周知的问题,也就是说,研究low-thrust轨道在地球和月球之间。我们指的是(1)和引用astrodynamical问题的讨论。
我们的新方法是来源于中介绍的方法(2,3)考虑依赖参数的双曲方程的解决方案。这种方法很大程度上依赖于计算机代数的表示函数,以这样一种方式,计算机可以使用这些函数在一个简单的和透明的方式,好像他们是浮点数,减少到最低限度的计算要显式地用手来完成。该方法的基本思想源于自动微分算法,看到4- - - - - -8),最近已使用领域的计算机辅助证明,看到9,10]的一些例子,但是其潜力优化和控制似乎被忽视了。节2我们描述的方法在一个通用的设置;节3我们描述了specific-planar-restricted三体问题,我们选择了作为一个例子;节4我们目前的结果,我们获得了三体问题;节5我们讨论方法的特性和比较的泰勒和切比雪夫表示。
2。通用的问题
考虑一个初值问题 在哪里是一个解析函数,是一个真正的矩阵和强迫项取决于如下: 在哪里是切比雪夫多项式,表示th组成部分。我们的第一步是计算显式的依赖在,因为。
我们选择一个数值方法解决IVP;为了集中参数依赖的问题,我们选择最简单的方法,例如,一阶欧拉计划一个显式时间步,我们考虑这样一种情况。后来我们展示,它是简单的适应其他方案的方法,例如,用可变时间步龙格-库塔方案,,。
选择,让是时间步,设置和欧拉格式读取 和。现在写 在哪里是根据一些空间的功能我们的选择。在本文中,我们考虑两组解析函数的泰勒展开盘(例如,)和切比雪夫扩张的连续函数(例如,)。很明显,该方法可以推广到其他扩展,例如,傅里叶级数和勒让德多项式。现在我们选择一个订单我们近似截断的扩张。我们的目标是计算系数使用一个自动算法。自,那么我们就有和,当。
方法的核心在于泰勒模型方法的泛化;详细描述的技术与不同扩张[2,3]。在这里,我们只记得的基本思想。首先,我们注意到,它是容易在计算机上实现的算术泰勒或切比雪夫多项式的一个变量。使用面向对象编程和操作符重载,可以定义一个类有趣的代表泰勒或者切比雪夫扩张和一组方法执行的基本操作和基本的计算功能。更准确地说,一个对象有趣的被表示为系数的列表。直接实现一个程序,给定一个标量和两个对象有趣的 ,,计算对象有趣的对应于,在那里要么是加法或乘法。然后,给定一个多项式,可以计算出对象有趣的对应于,因为所有分析功能可以用多项式近似,也可以计算的对象有趣的更好的接近。更algebraic-oriented表达这个想法的方式如下:让函数张成的空间,让是(可逆)提取系数的地图。我们的方法在于提升的基本算法来。更准确地说,我们计算运营商 这样,,。一旦完成了,我们可以充分利用面向对象的编程和操作符重载,以提升对用户完全透明。
该方法的扩展很简单。这个案子需要一些额外的工作,因为我们必须考虑多变量泰勒或者切比雪夫扩张: 两个这样的扩张的和离散。乘法不简单,但是一个非常有效的算法介绍了泰勒展开式的情况下在8),它不是很难扩展它的切比雪夫(或其他)扩张。我们将我们的项目细节。
与类有趣的组成的对象(7)和函数加法和乘法,我们可以使用一个标准的实现算法4),观察类的方法,将计算的照顾,而明确由(3)。将这种方法扩展到更好的整合计划,说龙格-库塔或多步,很简单:它就可以使用对象实现选择算法有趣的和他们的方法。通过实施和运行的集成方案选择与类有趣的,我们获得所有的系数因此多项式对所有。现在考虑多项式:解决边值问题(1在计算)由这样。这相当于解决代数方程未知数。如果我们希望(小是我们选择的一些规范),我们回想一下,什么时候该系统是欠定的,因此,我们可以计算显式公式并利用额外的自由度设置以下约束的最小化问题:找到这样 这个结果可以通过标准的约束极小化算法,例如,拉格朗日乘数法。注意,这种方法可以很容易地扩展到解决其他类型的条件:让和一些多项式函数。我们可以应用同样的方法这样 总之,一旦类有趣的和一些算法求解初值问题的颂歌已经实现,边值问题与强迫项的优化减少计算的约束最小多项式,约束被表示为多项式方程或方程组。我们的话,原则上,这种多项式约束极小化问题可以解决(浮点错误),但这并不意味着边界条件是解决原来的问题,由于我们删除扩张(7我们忽视了截断误差。需要检查后验例如,通过求解(2)与标准浮点数和所提供的强迫项(3),和计算错误或。
3所示。一个应用程序:在平面RTBP Low-Thrust轨道
为了模型的动态宇宙飞船旅行从一个环绕地球的轨道绕月球,我们考虑强制平面RTBP,这是系统: 在哪里 我们选择,也就是月系统的质量,所以,是拉格朗日点之间的初选。强迫项由一个标量函数乘以一个单位向量直接决定宇宙飞船的速度。换句话说,我们假设推力总是平行于速度。我们展示如何在前一节中描述的方法应用于优化问题从一个轨道距地球167公里的轨道100公里以上月亮。
我们选择一个连接轨道接近。注意,雅可比函数 大约是在一个轨道距地球167公里,大约月球轨道100公里以上。此外,为了“十字架”拉格朗日点附近的区域以上,有必要提高它。我们建立连接轨道如下。我们从李雅普诺夫绕与和近似周期性绕月球和地球。然后我们计算近似连接从李雅普诺夫轨道绕地球(向后)和绕月球(的时间)。选择李雅普诺夫轨道作为起点是有用的,如果不是必要的,因为它的高不稳定:这很难瞄准李雅普诺夫轨道比基本稳定的轨道。这些轨道是通过应用一个常数低推力(例如,,小),选择简单的试验和错误。
一旦这些粗糙的轨道计算,我们应用上述技术来计算一个准确校正,这样轨迹满足一些所需的边界条件和同时推力最小。更准确地说,我们写(10)4阶方程组通过设置和,我们写强迫项的系数 我们选择一些初始值在任意时间轨迹我们解决方程和一个四阶龙格-库塔计划一些时间,使用对象有趣的标量,系数作为独立变量的对象有趣的。指节2,我们有(系统)的维数,我们选择和。我们重新调节时间间隔并应用部分中描述的方法2获得的函数表示,作为泰勒级数或切比雪夫系列。
然后我们选择的条件感到满意。我们测试了以下几点:找到这样在的情况是一样的吗,但是最小的;找到这样的距离地球或月球的飞船是分配的最终速度系数,也就是说,和和是最小的;找到这样的距离地球或月球的飞船是分配在一起最终速度的模量,有额外的要求最终速度是正交的线连接卫星为主。所有这些问题属于一类问题在前一节中所描述的那样,和多项式约束极小化问题解决了拉格朗日乘数法的方法。
4所示。结果
图1代表的一个例子轨道计算通过使用技术。表1和2收集一些结果轨迹在落后一段时间开始接近李雅普诺夫绕点,更准确地说和结束时间接近着地球的轨道上运行。用恒定推力轨迹结束和。
为两个表我们必需规范的推力计算列值给定的轨迹和。结果表2代表有额外的约束的解决方案,最终速度是正交的段飞船到地球,对应于一个近似圆形轨道。我们测试了计算的准确性是解释的部分2,也就是说,我们重复轨道的计算标准的浮点数,使用强迫项的显式表达式,我们使用这种计算的结果来验证约束条件被满足。的值和代表的相对误差均方和,泰勒和切比雪夫获得计算,分别和是上的错误,即正交性要求。列和代表强制的规范条款。很明显从表的方法可以实现非常精确的结果,也是清楚,强迫项的标准与泰勒和切比雪夫获得计算(几乎)是一样的。
5。结论
我们讨论和比较两种扩张的特点我们测试:泰勒和切比雪夫。一般来说(见[2,3]),泰勒展开式的主要优势在于三个特点:算法更简单和更快,它们提供了直接衍生品对参数,此外,由于不需要知道收敛半径先天的,一个可以应用和计算后验的区间计算的有效性。泰勒展开式也两个主要的缺点:它不提供统一的错误执行的时间间隔计算和收敛半径可能被波兰人在复平面有界。对面的切比雪夫扩张特点:错误是均匀的间隔和地区的融合是一个椭圆薄如有必要,因此没有问题引起的两极与重要的虚部。另一方面,乘法的算法要复杂得多,慢得多,它不提供任何直接计算的衍生品和最后,自切比雪夫多项式中定义,需要选择先天的(通过一个合适的翻译/重新调节)参数的区间范围,只发现后验如果近似是可以接受的。在应用程序中被认为是在2,3),切比雪夫扩张是一个赢家,由于这一事实,当考虑冲击波的数值近似,当试图提高分辨率,波兰人的问题成为主要问题。这里,我们的判断是相反的:因为ode的解决方案,我们正在研究是解析函数,波兰人的问题限制了泰勒级数的收敛半径变得可以忽略不计,而缺点的切比雪夫扩张,尤其是慢算法和域必须选择的事实先天的,变得非常重要。另外,我们没有证据表明更好的性能的准确性。很容易找到例子当扩张执行比另一个好,但平均精度是相似的。