文摘
我们考虑的主题是一个家庭小参数的半线性波动方程和非线性提供kink-type解的存在性(孤波)。利用渐近分析和数值模拟,我们表明,相同类型的孤波(缺陷或次方)相同的方式进行交互的sine-Gordon方程。然而,孤波的不同类型保存后的形状相互作用只在两个或三个波的情况下,而且,此外,一些额外的条件下。
1。介绍
我们考虑到半线性波动方程 与一些光滑的非线性和参数。它是众所周知的1)独特的完全可积的代表家庭(1)是sine-Gordon方程,即(1),(见,例如,2,3])。
与此同时,有许多非线性这样,(1)承认精确行波解的孤立子类型: 传统上,解决方案(2)与符号“+”称为“变态”,而(2)与符号“-”叫做“次方。“很容易检查条件(一) 为,(B) ,在哪里和,或存在的,是充分的扭结/次方,这样的解决方案 此外,周期性条件下(C)
kink-antikink波的任意组合,
将大约足够好相应的柯西问题的精确解。这就产生了问题的角色之间的交互实体(2)。
第一这个话题已经获得的结果(4- - - - - -6),双波渐近已经构建,然后进行了数值模拟。在本文中,我们继续引用调查考虑三个或更多波之间的相互作用。关键是有一个假说(丹尼洛夫和Subochev [7],鲍里斯•Dubrovin的私人通信)有足够多方程sine-Gordon场景的两个孤波相互作用,但三波可以以同样的方式进行交互的完全可积方程。事实上,情况要复杂得多。我们的主要结果包括结论,在对主要术语,两个孤波(2)交互像sine-Gordon孤子但三个或更多波的稳定性取决于他们的参数。即结构与一个扭结和两个次方或一个次方和两个缺陷保持稳定的特殊选择速度,而四个或更多的相互作用波不会改变只有相同类型的实体结构(所有的缺陷或次方)。我们这里的主要工具是数值模拟。
论文的内容是这样的。节2我们提出的渐近两个孤波的相互作用;有限差分格式的描述包含在部分3;节4我们认为数值结果。
2。渐近解
基本上nonintegrable交互问题是不可能构建明确解决方案(古典或弱)或古典意义上的渐近。然而,可以构造一个渐近解弱意义上(见,例如,4,5,8- - - - - -11)和引用)。这种方法的主要优势是减少的可能性的问题描述非线性波相互作用的定性分析一些常微分方程(代替偏微分方程)。该方法考虑缺陷的事实(以及孤子(9,10])是光滑的成为非光滑的极限。所以它可以治疗一个映射等解决方案为和只统一在。因此,其余应该小弱意义上。这个相当简单的观察可以达成一些老问题的进展对nonintegrable波非线性相互作用方程。方程的形式(1),需要注意的是,有一个障碍应用标准建设。事实上,在意义上说,微分的1)服从非线性项。此外,左边的1)的价值在任何的意识薄弱的形式(4),。显然,这可以防止建设正确的柯西问题的渐近。为了克服这个障碍,在4)建造一个新的渐近解的定义,其中包括的主要词的衍生品使用参数和。
定义1。一个序列,属于为,属于统一在,被称为弱渐近国防部解决方案(1)的关系 持有一致的对于任何一个测试函数。
右边是一个函数为和一个分段连续函数一致。估计是理解的意义: 左边的5)是乘法的结果(1)和分部积分的光滑。因此,关系(5)满足自动精确解。另一方面,关系(5)是单相的正交性条件,似乎渐近(12,13]。这个条件都保证了第一修正并允许存在扭曲变态的前运动的方程。
定义2。一个函数据说的价值如果关系 持有一致的对于任何一个测试函数。
让我们考虑两个缺陷的相互作用, 在哪里,,最初的职位是这样的,。显然,它假定轨迹有一个连接点一次即时。
的渐近拟设问题(1),(8)具有以下形式: 在这里的轨迹是不相互影响的问题,表示“夏令时间”,。相位修正光滑函数,这样吗 率不低于。此外,是指数消失功能,是一个足够小的参数,, 在哪里是一个任意数量和是一个消失的函数作为足够快。
定理3(见[4])。我们的假设(一)——(C)。设置额外的假设(D)
,(E)函数是这样的不平等
持有一致的。然后在问题(缺陷的相互作用1),(8)保存sine-Gordon场景与准确性的定义1。疲软的渐近解(1),(8)的形式(9),振幅的特殊选择和参数。
备注4。对称(D)已经假定简化了渐近分析,这不是很重要的。
备注5。假设(E)的感觉是这样的。相位修正的解决方案动力系统与一个奇点的支持将相平面划分为两个部分的可能是个例外。假设(10)感到满意(因此,sine-Gordon场景发生)当且仅当存在一个特定的轨迹,从一个半平面到另一个点。当在(9)等于零,轨迹的存在意味着额外的外观非常复杂的假设。这个条件可以更粗,转化成最简单的形式(12)。这样的版本可以被视为一个容许的因为它是满足sine-Gordon速度方程。非线性也是如此 考虑振幅的选择自由假设(12)可以较弱。然而,动力系统非常复杂和完整的分析仍未完成。
显然,以上规定仍然适用于antikink-antikink交互。
让我们集中我们的注意力在kink-antikink交互,也就是说,在(1)与初始数据 在哪里和符号,,是一样的(8)。
渐近拟设为问题的解决方案(1),(14)有点不同于(9),即 使用相同的符号和假设(10)。
从技术上讲,建设(15)类似于kink-kink情况。然而,由此产生的动力系统的相位修正变得更加复杂。此外,它是不可能简化额外的假设,也出现在这里,没有充足的损失。因为这个原因我们不附加条件的显式形式但状态只有弱渐近的存在(15)在某些限制和。我们提到的读者5显式声明)。
最后,我们注意到有一个弱渐近解和能量之间的对应关系(1)。
定理6。让定理的假设3持有。然后两个缺陷(9)保护模形式交互后当且仅当他们满足守恒定律 和能量的关系
kink-antikink对类似的结论是正确的(15)[5]。
3所示。有限差分方案
实际的数值模拟(1)是实现有限间隔,。因为这个原因我们模拟的柯西问题混合问题如下: 在哪里的缺陷和次方的组合形式(4),表示它的时间导数计算,。模拟(18)的交互现象,我们假设,,最初的职位是如此,孤波方面属于的交点。此外,让,,统一的是这样 对于一些足够小。因为它是不可能产生任何问题的有限差分格式(18),它仍然稳定均匀和,我们将把作为一个规模虽小但固定常数。然而,我们将修复关系和有限差分方案参数。
创建一个有限差分方案(18我们应该选择合适的近似微分项和非线性项。我们单独做这件事。
3.1。初步非线性“计划”
通常,我们定义一个网格在和表示 让我们考虑以下非线性方程组: 在哪里是最后一个平等(18)是近似精度。显然,当地的近似精度(21)是。
为了简化符号,我们会写
因此,短形式的(21)如下:
我们的第一个结果是获得问题(有界性条件21)解决方案。
引理7(见[6])。让是一个足够小的常数,让 假设系统(21)是任何可以解决的。然后均匀 在哪里和是规范,即 这里,在下面表示一个不依赖于const > 0,,。
由于这个引理和身份 我们获得不平等 在哪里表示右边(25)。显然,这估计是很粗糙的。然而,它可以提高特定的初始数据(8)和(14)。
引理8(见[6])。我们的假设引理7得到满足。然后对初始数据,近似柯西数据(8)或(14),下面估计持有一致的:
3.2。线性化
现在我们应该验证的可解性(21)对于任何固定的,也就是说,方程 以及选择一个线性化非线性的方法。这个目标让我们构造函数序列,,这样和为满足的方程
代数系统的可解性31日足够小)是显而易见的和。为了简化我们写的符号。我们还定义
引理9(见[6])。我们假设(24)感到满意和让是足够小。然后 在哪里
因此我们立即断定的条款序列迅速消失, 由于(33)的条款序列是有界一致 此外,对于任何 这意味着本节的主要声明。
定理(见[106])。我们假设(24)感到满意,=常数。然后足够小序列是收敛的有意义的解决方案(30.)。此外,
3.3。数值模拟算法
由于精度远低于有限不同格式的准确性(21),我们获得以下问题的数值模拟算法(18)解决方案:
对于任何固定,我们(我)定义,(2)计算,因此,31日),(3)定义,重新定义,回到(i)。
由于估计(29日)和(39),该算法允许计算有界数值解的问题(18)。
注意,这个结果可以得到改善。此外,事实证明,该算法是绝对稳定的。为了证明这一点,我们国家首先命题。
引理11(见[6])。我们假设(24)感到满意,=常数。然后均匀 此外,一致 与一些,趋于无穷。
定理(见[126])。我们假设(24)感到满意,=常数。上面描述的解决方案有限差分方案收敛于问题的解决方案(18),在有意义的。
最后,在对序列的有界性的看法,,很容易建立我们最后的声明。
定理(见[136])。假设下的定理12上面描述的有限差分方案是稳定的有意义的。
4所示。数值模拟的结果
数值算法被实现为一个程序和测试使用sine-Gordon方程的一个,两个,三个,四个孤波。接下来我们使用非线性(13)和以下: 显然,这些函数满足的假设(一)- (D)。还请注意,函数(13),(42)和(43)有一个,三个,五个分别临界点。与此同时,(13)如果和。因此,明确扭结型解决方案这个案例中,也就是说, 趋向于零当。相反,对于函数(42)和(43)如果和。因此,扭结型解决方案,这些病例时,往往与指数率为零。然而,它们的显式形式仍然未知;这是为什么我们模拟解决数值柯西问题 ,由于条件(C),定义与消极的观点。计算的解决方案(45我们使用龙格-库塔方法与网格步第四阶。
4.1。双波相互作用
按照渐近分析,两孤子相互作用保持形状;参见图1和2非线性(13),(这里,接下来我们的海浪从左到右)。此外,这是一个事实独立波的参数,考虑非线性。因此我们可以得出结论,附加条件,出现了渐近,渐近方法的限制。
4.2。三波相互作用
有32个组合的三个孤子(缺陷和次方)与轨迹相交于一个即时的时间。针对对称(1),我们可以减少这个数字到16岁,只考虑容许的组合三个问题,两个问题和一个次方。接下来,我们减少使用对称组合到12。所有这些数值分析了组合每个非线性(有相同的结果13),(42),(43):三个缺陷保留对所有容许速度相互作用后的形状,而只有两个稳定的组合两个问题和一个次方。相应的数值结果中描述的数据3- - - - - -5(43),。在图6我们提出一个扭结和两个次方的稳定结构的双重要求4在某种意义上的对称。因此,有12个稳定结构的缺陷(K)和次方(一个):(1)三k党:(,,),(,,),(,,),(,,);(2)KKA:(,,);(3)KAA:(,,);(4)雅乐:(,,);(5)的样子:,,);(6)AAA:(,,),(,,),(,,),(,,)。
4.3。互动四个或更多的波
我们获得了相同类型的波之间的相互作用不破坏结构;例如,图7有6个问题,,,。对于不同类型的波,我们没有发现任何稳定的组合。事实上,即便四波可能的组合的数量太大了,模拟他们每个人,所以我们只检查组合的一部分。然而,我们猜测,没有稳定结构,原因如下:结合四个波可以被认为是作为一个联盟的三联体额外波在其左,或作为一个联盟的三联体额外波在其正确的。事实证明其中一个三胞胎应该不稳定因为稳定的三胞胎的列表太稀疏了。因此总组合是不稳定的。我们说明这个图8相互作用的两个缺陷和两个次方。事实上,这样的组合可以被视为欧盟的稳定的三联体的图4和次方在他右边。相反,同样的组合是工会的扭结和kink-antikink-antikink三联体,这是不稳定的。
5。结论
总结以上所述,我们可以推断出存在非线性的一个家庭,这样kink-kink和kink-antikink对保持互动的sine-Gordon场景至少在领导渐近意义上的术语。显然,这个家庭可以通过指定的假设(一)- (D)。
至于多波相互作用,情况更加复杂。显然,足够大量的相同类型的孤子相互作用保持形状,而只有四个稳定的缺陷和次方的组合。事实上,这很出乎意料,因为单一的扭结和次方波具有相同的属性。第二个奇怪的现象是,没有出现任何扰动的辐射类型,比得上碰撞KdV-type孤波的方程(11]。让我们也要注意我们的算法(见部分3)允许消除“辐射由于离散性效应”,这似乎微不足道的线性化;参见[14]。
承认
这项研究是由格兰特SEP-CONACYT 178690(墨西哥)。