文摘
本文我们主要目的是使用更一般的迭代和扩张映射技术运营商noniterative分数微分方程(柯西类型)。noninteger案例在Riemann-Liouville部分运营商。应用程序的说明。
1。介绍
分数微积分及其应用(即理论,微分和积分的顺序任意实数或复数)是重要的在几个广泛多样的数学、物理和工程科学。整数阶微分法和广义倍积分。部分衍生品介绍一个优秀的工具的描述各种材料的一般性质和过程。这是部分衍生品的主要优势与古典integer-order模型相比,这种效应实际上是被忽视的。部分衍生品的优点变得明显在建模机械和电气性能的材料,以及属性的描述气体,液体,岩石,在很多其他领域。
我们的目标本文是考虑非线性柯西问题的存在性和唯一性的分数阶Riemann-Liouville运营商。另外,两个解析延拓定理的解决方案进行了研究。分数的柯西问题,我们更换一阶时间导数的分数阶导数。在物理部分柯西问题是有用的。最近,作者研究了分数柯西问题在复数域(1]。
最常用的工具之一,分数阶微积分理论的家具都是由Riemann-Liouville运营商。Riemann-Liouville分数阶导数很难构成所需的初始条件的物理解释涉及分数微分方程的初值问题。此外,这个操作符具有快速收敛的优点,高稳定,精度高,得到不同类型的数值算法(见[2])。
定义1。分数(任意)函数的积分的订单被定义为 当,我们写,在那里表示卷积产品(见[3]),和和作为在哪里δ函数。
定义2。分数(任意)函数的导数的订单被定义为
定义4。卡普托分数阶导数的秩序被定义为一个光滑函数,通过 在哪里(符号代表不大于最大的整数)。
请注意,有一个Riemann-Liouville微分算子和卡普托算子之间的关系 他们在物理问题(即是等价的。,a problem which specifies the initial conditions, that is, if,那么Riemann-Liouville导数和卡普托导数一致)。
2。预赛
我们这里提取扩张映射的基本原理,以提供所需的概念和结果的在下一个部分。让是一个度量空间。一个映射据说是一个如果存在收缩这样 的情况下,映射据说是扩张。让是一个非空的一个真正的赋范线性空间的子集和是一个地图。在这种背景下,non-expansive如果
下面的结果是非扩张映射的不动点定理,根据Berinde;看到例如[4]。
定理5。让是一个非空的封闭凸和有界一致认为巴拿赫空间的子集。然后任何扩张映射的映射至少有一个固定的点。
定义6。让是一个凸赋范线性空间的子集,让self-mapping。给定一个和一个实数,序列定义的公式 通常被称为Krasnoselskij迭代或者Krasnoselskij-Mann迭代。
定义7。让是一个凸赋范线性空间的子集,让self-mapping。给定一个和一个实数,序列定义的公式 通常被称为曼迭代。
埃德尔斯坦(5证明了严格凸性足以Krasnoselskij迭代收敛到一个固定的角度。同时,Egri和俄文6证明的任何子集,曼迭代收敛到一个固定的角度当是一个non-expansive映射。
我们需要以下结果,可以发现在7]。
引理8。让是一个凸和紧凑的巴拿赫空间的子集,让是一个non-expansive映射。如果曼迭代过程满足这些假设(一) 对所有正整数,(b) 对所有正整数,(c) 。
然后强烈收敛到一个固定的点。
引理9。让是一个封闭的一个真正的有界凸子集赋范空间和non-expansive映射。如果地图的有限子集关闭成封闭的子集和曼迭代,令人满意的假设(一)——(c)在引理8,然后强烈收敛到一个固定的点在。
3所示。存在定理和近似的解决方案
对于大多数偏差变元的微分和积分方程出现在最近的文献,论点的偏差通常只涉及时间本身。然而,另一种情况下,偏差参数取决于状态变量和时间,是理论和实践的重要性。方程的形式 被称为迭代微分方程。这些方程是感染的重要研究模型和相关的研究带电粒子的运动与弱智交互(见[3,8,9])。
在本节中,我们建立的存在性和唯一性结果分数微分方程 与初始条件,在那里和。为表示 很明显,是一个非空的凸和紧凑的巴拿赫空间的子集,在那里。
定理10。假设满足以下条件的初值问题(11):(A1) ;(A2) ,尽管;(A3)如果李普希茨常数,这样吗,然后 (A4)拥有下列条件之一:(一) ,在那里;(b) ,尽管;(c) ,尽管。
如果 那么至少存在一个解的问题(11)可以用Krasnoselskij迭代近似 在哪里和是任意的。
证明。考虑到积分算子
我们的目标是证明有一个固定的点。我们继续应用Schauder不动点定理或巴拿赫不动点定理。
首先,我们表明,不变的设置对吗,也就是说,。由于条件(A4 (a)),,我们有
因此。的相似的方式(A4 (a)),我们将案例(A4 (b))和(A4 (c))。现在每(A3),我们获得
因此每当。因此,(例如,是self-mapping)。让和采用(A2),我们有
在哪里
现在,通过最后的上确界断言,我们得到的
如果,然后是一个收缩映射,因此针对巴拿赫不动点定理,(11)有一个独特的解决方案。现在,如果
然后non-expansive,因此,连续;因此Schauder不动点定理意味着(11)有一个解决方案。最后,针对前题8和9,我们获得的第二部分定理。
接下来,我们建立的解决方案(11)的一个子集定义为
很明显,非空的,凸,紧凑的子集。
定理11。假设满足下列条件。(A5) 。(A6)如果李普希茨常数,这样吗,然后。(A7)存在一个这样和
如果(A2), (A4)持有至少存在一个解的问题(11)可以用Krasnoselskij迭代近似 在哪里和是任意的。
证明。我们假设巴拿赫空间赋予Bielecki规范给出的公式
让被定义为在定理的证明10。通过假设(A2)、(A4)和(A6),它遵循
现在我们证明是一个不变的组对操作员吗。事实上,如果和然后针对(A5)和(A6)
也就是说,。
让和,我们有
这个收益率
在哪里是一个连续函数。那么存在一个常数这样
因此我们有
这表明,是Lipschitzian,因此连续的。Schauder的不动点定理,接下去至少有一个不动点,实际上是一个初值问题的解决方案(11)。
我们继续显示是扩张映射函数。这个函数
是严格增加和;此外,
同样的功能
然后
现在的函数
是严格递减上;因此,
为和然后假设(A7),存在一个这样
这意味着因此是严格增加。如果我们把,我们有
但自因此我们得到
为充分,,,。此外,我们有
因此,我们接受
这表明non-expansive。
相似的观点认为,(38)我们有,因此是严格增加。最后,可以使用前题8和9获得的第二部分定理。这就完成了证明。
示例12。考虑以下一个分步迭代微分方程初值问题相关 在哪里。我们的重点是解决方案属于一组
满足(A4 (a)),和
因此(A4 (a))是满意。这个函数与李普希茨Lipschitzian常数。这表明
因此,通过定理10,我们获取信息的存在和近似解的初值问题(44)。
如果我们考虑到函数在示例12,然后我们获得
因此,再次被定理10我们提出的存在和近似初值问题的解决方案(44)。
再一次,我们考虑的问题(44)间隔为,在那里。我们感兴趣的是解决方案属于一组 我们的目标是满足定理的假设11。(A2)和(A4)是有效的。自和,我们有 因此(A5)满意。此外,计算了 因此(A6)满意。现在我们继续满足(A7) 然后,我们对
我们可以观察到这个问题(44)没有一个解决方案在时间间隔: 为,,,,计算提出了 因此,条件(A5)不满足。
最后,问题(44)没有一个解决方案在时间间隔(针对定理11) 为,,,,计算收益率 因此,条件(A5)不满足。
这样迭代分数微分方程被用来概括模型感染性疾病过程,模式形成的平面,在动力系统的调查是很重要的,未来也将致力于他们的工作。
承认
作者感谢匿名裁判对他/她的建议,以改善。