文摘
本文致力于研究进一步广义米塔格-莱弗勒函数的性质新形式与分数积分和微分算子。一个新的积分算子新形式根据分数积分算子和包含在其内核定义和研究,即其有界性。新形式的同时,作文分数积分和微分算子与新的运营商建立了。
1。介绍
1903年,瑞典数学家米塔格-莱弗勒(1]介绍了函数作为 在哪里和γ函数;。
在过去的世纪,由于其参与物理问题,工程和应用科学,许多作者定义和研究他们的研究论文不同概括米塔格-莱弗勒类型的函数,即引入Wiman [2),规定的角色(3),定义并研究了舒克拉和生4),而研究了萨利姆和法拉吉5]。
角色研究广义米塔格-莱弗勒类型函数的一些性质和部分积分算子 包含在内核和应用结果证明解的存在性和唯一性的相应的第一类积分方程。
此外,Kilbas et al。6]为进一步调查和积分算子定义在(2)。他们建立了积分表示,分化和集成的属性和公式的Riemann-Liouville分数积分和微分算子。结果和结论,一个可以参考的工作斯利瓦斯塔瓦和Tomovski [7]。
最近,萨利姆和法拉吉(5)引入了一个新的Mittag-Leffler-type函数的泛化 在哪里 方程(3)只是一个广义米塔格-莱弗勒公式函数;其各种属性包括分化、拉普拉斯、β和梅林变换和广义超几何级数形式及其与其他类型的特殊功能的关系研究,建立了。
另一方面萨利姆和法拉吉的研究论文和研究一个积分算子定义的作为 包含在内核中。Riemann-Liouville组成部分积分和微分算子定义的积分算子(5)成立。
本文致力于研究进一步广义米塔格-莱弗勒函数的属性中定义的(3分数阶微积分)与另一个类型运营商新形式称为分数积分和微分运算符写成: 最后一个定义可以书面形式 准确地说,作者研究了新形式的基本性质部分积分和微分算子广义米塔格-莱弗勒函数;此外,一个新的积分算子根据韦尔分数积分算子和包含建立在它的内核 积分算子的有界性条件(9)在空间讨论和说明Lebesgue-measurable功能上 此外,新形式的组成部分集成和微分算子定义的(9)建立。
在这篇文章中,我们需要遵循众所周知的事实和规则。(我)Fubini定理(狄利克雷公式)8] (2)Riemann-Liouville部分积分(8] (3)Riemann-Liouville分数阶导数(8] (iv)β变换(却9]) 在哪里,。(v)β函数写为: (vi)的不同属性伽马函数
2。进一步外尔米塔格-莱弗勒分数积分相关函数的性质
在本节中,我们考虑新形式的组成部分积分和导数(6)和(7)和广义米塔格-莱弗勒函数中定义的(3)。
定理1。让;和,然后
证明。 让,然后
定理2。让,,;,,,,,和,然后
证明。利用(7),我们得到 让,然后
3所示。外尔积分算子的广义米塔格-莱弗勒函数内核
考虑外尔积分算子定义在(9)包含在内核中。首先,我们证明了运算符是有界的。
定理3。让;与,,,,和,那么操作员是有界的和 在哪里
证明。让表示届任期(25),然后
因此,作为和这意味着的右边(25在给定的条件下)是收敛的,有限的。
现在,根据(9),(10)和(11),我们得到
让
然后
因此,
我们现在考虑新形式的组成部分集成和分化与运营商中定义的(9)包含在接下来的两个定理。
备注4。一个可以使用的结果下一个引理的证明表示定理(见[5])。
引理5。让;,,,,和,然后,一个
定理6。让;与,,,和,然后
证明。应用(8)和(9),并通过使用狄利克雷公式(11)的收益率 让 然后 应用(13)和引理的结果5,我们得到 另一方面, 让,我们得到 回到(13)和引理5,我们有 结束的证明。
类似的结果是有关部分分化新形式表示在接下来的定理。
定理7。如果条件的定理6是满意的,那么