文摘

提出了另一个新修改的洛伦兹系统混乱在一定范围的参数。除此之外,本文还提出了解决新修改的洛伦兹系统的解释。此外,一些系统的动态特性和声明所示。基本上,这篇文章显示了发现导致系统不动点的发现,动态分析使用complementary-cluster能量势垒(CCEBC)标准,发现雅可比矩阵,发现特征值稳定,发现李雅普诺夫函数,找到李雅普诺夫指数调查的一些系统的动力学行为。图片和图表将显示为混沌系统使用枫木的助手在2 d和3 d视图。然而,本文介绍新修改的洛伦兹系统。

1。介绍

在现实生活中,动力系统是众所周知的各种使用诸如人口增长模型。我们可以通过时间和研究人口的变化可以对人口增长的长期预测。除此之外,提出将动力系统描述为“试图描述进程的数学分支运动”(1]。此外,洛伦兹介绍了混沌动力系统在1960年代早期,当他在做天气预报。他意识到小变化或差异的初始点天气系统以惊人的结果可能会改变结果。然后,他将其命名为“蝴蝶效应”的系统依赖于其初始条件(2]。

简单的单词,混乱是一个一般术语用来表示混沌动力系统。很多研究已经完成,系统已被广泛研究各种各样的特征。例如,爱德华·洛伦兹发表了“奇异吸引子”的报道,他发现这个吸引子由于使用电脑找到近似数值解微分方程组在天气模式3- - - - - -5]。

混沌理论的现代观点(6在他们的书中称混沌理论提到“一个混沌系统被定义为一个显示对初始条件的敏感性。也就是说,任何给定的初始状态的不确定性系统,无论多小,快速增长将导致错误的任何努力预测未来的行为。换句话说,系统混乱。可以预测其行为只有在已知初始条件无限程度的准确性,这是不可能的。”

李等人。7一起]描述混乱很可能被认为是相对论和量子力学的三个20世纪的重大发现。在过去四十年的混乱已经成熟科学(即。,still evolving) that has given us deep insights into previously intractable and inherently nonlinear natural phenomena. The term chaos associated with an interval map was first formally introduced into mathematics by Li and Yorke themselves in 1975, where they established a simple criterion for chaos in one-dimensional difference equations, the well-known “period three implies chaos.”

一些研究人员已经修改了洛伦兹系统偶然发现在现实生活中或试图发现应用程序。一些以前的工作的周et al。8),Qi et al。9),和严10)提出了修改后的洛伦兹系统,讨论了系统的稳定性和动态行为。Tigan [11)显示了一个有前途的修改洛伦兹系统中的潜在应用程序安全通信。

除此之外,还有其他如罗斯勒系统混沌模型,four-wing超混沌吸引子,瞬态混沌产生一个新的四维二阶自治系统(12]。陆et al。13,14)设法找到一个修改后的混沌动力系统的洛伦兹系统本身。新的混沌吸引子是一个简单的三维自治系统,连接洛伦茨吸引子和陈的吸引子,代表了从一个过渡到另一个。

进一步的研究(15]国家统一混沌系统包含了洛伦兹和陈系统作为两个双系统参数谱的两个极端。此外,新系统代表了持续转型陈从洛伦兹系统,是混乱的在整个光谱的关键系统参数。

最新的研究之一是解决周的混沌系统使用欧拉方法[16,17]。它说它是一个最简单的方法来获得一个微分方程的数值解。尽管该方法不是有效的龙格-库塔法相比,它提供一种更简单的方法来分析系统。

桑佳亚等人设法建立Hindermarsh-Rose神经元模型的基础上,缝隙连接的双向耦合强度的关系,详细讨论了同步的,看到18]。完成同步的充分条件是获得严格的数学推导。周期性的神经元和混乱的破裂神经元的同步进行了研究。

有很多可以应用于应用程序混乱。此外,混沌动力系统不仅是重要的和有用的,但是它也可能引入新的方法或系统,它可以帮助人们理解数学。

本研究将主要基于洛伦兹系统4,5,19,20.),系统已经从洛伦兹系统修改。洛伦茨方程系统描述如下: 在哪里,,实常数参数时,系统混乱,,。

2。修改后的洛伦兹系统

介绍了另一个新修改的洛伦兹系统混沌行为。新修改的洛伦兹系统如下: 在哪里,,是变量和,,是真实的参数。

2.1。系统的不动点

为了获得系统的不动点,我们。因此,我们获得 此外,我们从系统中获得雅可比矩阵(2)找到特征值。 当固定点, 至于固定的点或,我们获得 因此,通过求解(5),我们也将获得三个特征值 很明显,(7)总是负面的这表明该系统是稳定的。至于(8),它的价值总是负面的,,。因此,定点总是稳定的。最后但并非最不重要的价值(9)总是正的。这意味着系统总是不稳定的存在。

2.2。一些数学性质

我们利用李雅普诺夫函数提出了(19)表明,不动点吸引子: 因此,我们将区分上面的李雅普诺夫函数(10)对获得

接下来,我们用(2)(11)获得 很容易验证系统(2)是稳定的。这是可能的值是足够大的价值相比和。

很明显,起源点,是一个吸引子满足所有在,在那里附近的吗。此外,它也是如此对所有在。

我们可以看到,新修改的洛伦兹系统的对称性质。系统的方程(2)不改变或者是不变的下列情况发生时:

系统(2)是受这个对称性的影响。因此,从图(数字6和7),我们可以观察到的变量和与关于原点对称的吗。此外,这暗示一个音叉分岔的不动点和周期解是可能的21]。

现在,我们将显示系统(2)是耗散。从方程(2),我们将获得 在哪里是体积。自,很明显,系统(2)是耗散的收缩指数率 也就是说,卷的元素简约的流入是体积元吗在时间。这也意味着,每个卷系统轨迹将会收缩当以指数的速度。因此,系统的轨道将局限于特定子集体积为零,渐近运动就会沉淀下来到吸引子(21]。

现在,我们已经使用龙格-库塔四阶方法解决新系统(2使用枫木)。为了确定系统(2)是混乱的,使用MATLAB命令我们使用李雅普诺夫指数(16]。至于绘图系统,我们使用枫木的助手。

2.3。动力分析使用Complementary-Cluster能量势垒标准(CCEBC)

现在,我们要确定动力系统的动力学行为(2)基于complementary-cluster能量势垒标准(CCEBC) [22]。让前两个微分方程系统(2) 在哪里是一种已知的时间变量的函数,。至于,,的情况下,它们是常数参数。因此,系统(16)是一种二维常系数线性系统,系统(16)是简单的和全球。

通过计算雅可比矩阵,我们获得了以下几点: 通过使直线化系统(16)定点原点(0,0),它给以下特征方程如下: 因此,我们分析了上述方程在某些情况下。(1)当,,系统(16)有两个真正的特征值等。这意味着不动点是一个鞍点在二维平面上(图1(一))。(2)当,,系统(16)有两个实际特征值为负,这样,。这意味着不动点是一个稳定的节点点在二维平面上(图1 (b))。(3)当,,系统(16)有两个复杂等特征值与再保险是负的。这意味着不动点是一种稳定的焦点在二维平面上(图1 (c))。(4)当,,系统(16)有两个重复的实特征值,这样(负面)。这意味着不动点是一个简并稳定的节点在二维平面上(图1 (d))。(5)当,,系统(16)有两个积极的实特征值,这样,。这意味着不动点是一种不稳定的节点点在二维平面上(图1 (e))。(6)当,,系统(16)有两个复杂等特征值与再保险是积极的。这意味着不动点是一种不稳定的焦点在二维平面上(图1 (f))。(7)当,,系统(16)有两个重复的实特征值,这样(积极的)。这意味着不动点是一个堕落的不稳定节点在二维平面上(图1 (g))。(8)当,系统(16)第一特征值等于零,第二个特征值为正,这样,。(图1 (h))(9)当和系统(16)第一特征值等于零,第二特征值等于零也这样。(10)当和系统(16)第一特征值等于零,第二特征值是负的,这样,(图1(我))。

图2显示的图像混沌时间序列的功能和两条直线(固体)和(长破折号)。很明显,随着时间,趋于无穷时,函数通过直线或者。的分为3分区脱节的域:,,。

因此,系统(16)表示不同的领域有不同的动力学行为。当时间,趋于无穷时,系统的动力学行为的变化(6反复),通过这些领域,导致complicated-dynamical行为。

3所示。结果和讨论

利用李雅普诺夫指数,我们观察到系统(2)混沌行为的价值,,。为了获得这些值,参数和是固定的参数在参数将用于动态变化。我们有固定的迭代值来每个迭代,我们获得一千年以后的迭代。MATLAB的帮助下,我们成功地获得了李雅普诺夫指数价值和绘制李雅普诺夫指数和参数新系统(2)。图3是图得到的李雅普诺夫指数。

李雅普诺夫指数显示的一些积极的价值观系统本身是混乱在一定范围的值。因此,图中,两个正的李雅普诺夫指数的最高价值值时发生值是。相应的李雅普诺夫指数的值,,。

这些数据4,5,6,7的阶段的系统参数,,选择初始点。至于数据8,9,10的画像是相应的变量的时间序列图吗,,与参数,,选择初始点。

接下来,我们还发现一些系统中的混沌行为,在图中描绘了一个不同的结构。在李雅普诺夫指数,我们可以看到图中的最高峰3是在什么时候等于。价值给出了Lyaponuv指数的最高价值,,。此外,系统给了另一个图中突然改变等于。数据11和12分别显示阶段系统的肖像。

4所示。结论和建议

在这篇文章中,我们已经发现了一种新的修改洛伦兹系统(2)和一些有趣的结果。除此之外,我们还研究了系统的动态行为和基本的动态分析。我们也做了complementary-cluster能量势垒标准(CCEBC)分析和研究了利用李雅普诺夫指数混沌行为。系统行为混乱,,。

为新系统(2),仍有许多其他属性和动力学行为,仍然是未知的。许多其他分析新系统需要进行调查。这里不显示的动态分析是系统的分岔。此外,庞加莱映射的系统没有显示。因此,为了调查系统的其他属性,需要进行进一步的研究。此外,使用的步长李雅普诺夫指数可能不是小足以证明的价值获得足够准确。读者可以选择一个更小的步长以获得更强的李雅普诺夫指数的值。

在下一纸,会有一些基本的动力学属性解释特别是新修改的洛伦兹系统分岔。除此之外,在庞加莱映射的解释,多方面的结构,和其他动力行为将显示和解释道。

承认

本研究部分支持的高等教育,马来西亚在基础研究资助计划(德意志联邦共和国)投票59173。