文摘

我们得到两个三为多重映射不动点定理在豪斯多夫模糊度量空间。

1。介绍和预赛

模糊集的概念引入了德(1)在1965年作为一个数学工具来表示模糊在每一天的生活。从那时起,这是由许多作者开发广泛,包括有趣的这一理论在不同领域的应用。使用这个概念在拓扑和分析中,一些研究人员在几个方面定义了模糊度量空间(例如,2- - - - - -4])。乔治和Veeramani [2)修改模糊度量空间的概念引入Kramosil员工和Michalek [3),也成功地诱导Hausdroff拓扑等模糊度量空间通常用于当前的研究。后来Grabiec [5]证明了收缩原则设定的模糊度量空间中引入[2]。模糊度量空间有许多应用,例如,各种概念的模糊拓扑已经发现在至关重要的应用程序在量子粒子物理学特别是在连接字符串和理论研究和制定的El Naschie [6)还有最近Gregori et al。(7)提供几个有趣的例子的模糊指标的乔治和Veeramani [2),也利用这种模糊度量彩色图像处理。不动点定理的模糊度量空间中的一些有趣的引用(2,5,8- - - - - -16]。

集值映射的理论已经应用在控制理论中,凸优化、微分夹杂物,和经济学。这项研究使用分离收缩多值映射的不动点指标是由纳德勒(17]。2004年,Rodriguez-Lopez和Romaguera [18]介绍了分离的模糊度量的非空的紧凑的给定模糊度量空间的子集。后来几个作者证明了一些多值映射的不动点定理的模糊度量空间(例如,19- - - - - -22])。压缩映象不动点的存在对各种多值已经被许多作者研究了在不同条件下。详情,我们参考读者3,17,23- - - - - -29日)和引用。2006年,Gnana Bhaskar和Lakshmikantham30.]介绍了耦合不动点的概念在半序度量空间,还讨论了一些问题的耦合不动点的唯一性,和他们的研究结果应用于问题的解的存在性和唯一性的周期边值问题。2011年,赛门特和Vetro [31日]扩展耦合的多值映射的不动点定理,后来几个作者,即侯赛因和Alotaibi [32),Aydi et al。33,阿巴斯et al。34)证明在半序度量空间耦合的重合点定理。Borcut [35)观察到耦合不动点的技术不能解决系统具有以下形式:因此Berinde和Borcut36]介绍了三重固定的概念分,获得了三倍单值映射的公共不动点定理在半序度量空间。此外,这些结果可用于研究周期边值问题的解的存在有关。

在本文中,我们获得了三个多重映射的不动点定理在豪斯多夫模糊度量空间和使用它,我们得到一个共同的三重定点多和单值映射。

在续集中,我们需要以下。

定义1(见[37])。一个二元运算是一个连续规范如果它满足下列条件:(1) 联想和交换,(2) 是连续的,(3) 对所有,(4) 每当和,对于每一个。

两个连续的典型例子规范是和。

定义2(见[2])。包含被称为模糊度量空间如果是一个任意的(非空的),是一个连续规范,是一个模糊集合,满足下列条件和每个和,(1) ,(2) 当且仅当,(3) ,(4) ,(5) 是连续的。

让是一个模糊度量空间。为,开放球与中心和半径被定义为。

一个子集如果对于每一个被称为开放,存在和这样。让表示所有打开的子集的家庭。然后被称为拓扑诱导的模糊度量。这种拓扑是豪斯多夫和第一可数。一个子集的据说F-bounded如果存在吗和这样对所有。

Grabiec [5获得以下重要引理。

引理3(见[5])。让是一个模糊度量空间。然后不减少的对吗,尽管在。

Rodriguez-Lopez和Romaguera18定义的模糊度量的连续性并得到以下相关引理的连续性。

定义4。让是一个模糊度量空间。据说是连续的吗如果 每当一个序列在收敛于一个点,也就是说,无论何时

引理5(见[18])。让是一个模糊度量空间。然后是一个连续函数。

从现在开始, 将表示以下条件: 1994年,Mishra et al。13)相关证明以下引理柯西序列模糊度量空间。

引理6(见[13])。让是一个序列模糊度量空间)满足 。如果存在一个正数这样 然后是一个柯西序列。

定义7 ([18定义2.2])。让是一个非空的模糊度量空间的子集。为和,定义。

在整个论文,让表示类的所有非空的紧凑的子集。

引理8 ([18引理1])。让是一个模糊度量空间。然后为每个和,存在这样。

定义(见[918])。让是一个模糊度量空间。为每一个和,设置 的元组被称为分离模糊度量空间。

我们使用以下引理证明Haghi et al。38在定理15节2。

引理10(见[38])。让是一个非空的并集是一个映射。然后有一个子集这样和是一个人。

现在,我们给出以下定义一双混合映射(参见[39])。

定义11。让是一个非空的集合,(所有的非空的子集的集合),。(我)这一点被称为固定的三倍吗如果 (2)这一点被称为三倍重合点的和如果 (3)这一点被称为公共不动点的三倍吗和如果

定义12。让是一个多值映射和是一个self-map。混合双被称为兼容,如果每当是一个巧合的三倍和。

2。主要结果

首先,我们从引理证明结果略有不同6在证明我们的主要结果是至关重要的。

引理13。让,,在模糊度量空间序列)满足 。如果存在一个正数这样 对所有,然后,和柯西序列在。

证明。我们有 因此, 现在,对于任何正整数,
让和使用 ,我们有 因此是一个柯西序列。同样,我们可以证明和也在柯西序列。

现在,我们已经准备好证明我们的第一个主要结果。

定理14。让是一个完整的模糊度量空间满足条件 和是一个集值映射满足 为每一个,,在那里。
然后有一个定点增长了两倍。

证明。让。
选择,。
自紧凑的,由引理吗8,存在这样 自紧凑的,由引理吗8,存在这样 自紧凑的,由引理吗8,存在这样 因此, 继续以这种方式,我们可以获得序列,和在这样,和这样 因此,由引理13,和柯西序列在。
自完成,存在吗这样,和。考虑 让,我们得到 同样,我们可以证明 自,,,从(20.)和(21),我们有 因此存在序列,和这样 现在,对于每个,我们有 让,我们获得 同样,我们可以证明 自,,是紧凑的,我们有什么,,。
因此,是定点的三倍。

使用上面的定理,我们现在是一个三倍的巧合和公共不动点定理的一种混合多值和单值映射。

定理15。让是一个完整的模糊度量空间满足条件 和和是一个令人满意的映射 对所有,和。进一步假设,然后和有一个三倍的巧合。此外,和有一个公共不动点的三倍,如果下列条件之一成立。(一)这一对是兼容和存在这样,,,每当是一个巧合的三倍和和是连续的。(b)存在这样,和,每当是一个巧合的三倍和和是连续的。

证明。由引理10,存在这样是一对一吗。
现在,定义通过对所有。自是一对一的,是定义良好的。
现在, 因此满足(13)和所有定理的条件14。
由定理14,有一个三倍定点。因此, 自,存在这样,,。所以从(29日),我们有 这意味着是一个巧合的三倍和。
现在,在(后39除了不平等满意我们可以证明和有一个公共不动点的三倍。

承认

作者感谢裁判对他有价值的建议。