文摘

利用微分从属的技巧,我们获得的某些属性化合价的功能与Dziok-Srivastava算子。

1。介绍

让表示的类的函数形式 分析在开放单位磁盘。我们写。

假设和分析在。我们说的功能隶属于在,或臣服,在,我们写或,如果存在一个解析函数在与和,这样。如果是单价的适用,那么下面的等价关系(见[1- - - - - -3):

函数的给出的 我们定义了阿达玛产品(或卷积)和通过

对于复杂的参数和广义超几何函数定义(见[4)由以下无穷级数: 在哪里Pochhammer符号定义,γ函数,通过 对应一个函数定义为 Dziok和斯利瓦斯塔瓦5)被认为是一个线性算子 由阿达玛的产品如下: 如果是由(1),然后我们有 在哪里 简单的符号,我们写 它很容易遵循的9)或(10), 应该说,线性算子是许多其他的泛化前面提过的线性算子。特别是,对我们有以下的观察:(我) 的线性算子调查了Hohlov [6];(2) 的线性算子研究了高尔和Sohi7]。在当,Ruscheweyh导吗(见[8]);(3) ,在那里是广义Bernardi-Libera-Livingston积分算子(见[9]);(iv) ,在那里的分数积分吗的订单当和分数阶导数的订单当。扩展部分differintegral算子介绍和研究了帕特尔和Mishra10]。的分数微分算子与调查了斯利瓦斯塔瓦和Aouf11]。操作员介绍了Owa和斯利瓦斯塔瓦(12)(参见[13- - - - - -15])。(v) =的线性算子研究了Saitoh [16)收益率操作员介绍了由卡尔森和谢弗(17];(vi) =,在那里是Choi-Saigo-Srivastava操作符(9]Carlson-Shaffer密切相关的17)操作符;(七) =,操作员被认为是由刘和努尔(18];(八) =,在那里是Cho-Kwon-Srivastava操作符(19]。

近年来,许多有趣的子类分析功能,与Dziok-Srivastava算子和它的许多特殊情况,调查,例如,Dziok,斯利瓦斯塔瓦(5,20.),Gangadharan et al。21),刘和努尔18,刘22),刘,斯利瓦斯塔瓦(23),和其他参见[19,24- - - - - -26])。在本文,我们将使用方法基于微分从属获得包含关系和其他有趣的Dziok-Srivastava操作符的属性和特征。

2。主要结果

除非另有所提到的,我们假设在整个续集;;;和。

让表示的类的函数形式 分析在,我们写。在我们目前的调查,我们需要下面的前题。

引理1(见[2])。让被分析和凸(单价的)与和。如果 然后,对于和, 和是最好的优势。

引理2(见[1])。让是一组复杂的飞机和是一个复杂的数字令人满意。假设函数满足条件所有真正的和所有。如果函数和,然后在。

引理3(见[27])。让分析在与和对所有。如果存在两个点这样 对于一些和和所有,然后 在哪里

定理4。让,。让,然后 意味着 绑定是最好的。

证明。它很容易遵循的13), 从(20.)和(22),我们有 也就是说, 让 然后(24)可以写成 通过使用一个著名的结果(见[28)(26)我们获得 或者,同样, 在哪里分析在,和为。自为和,(28)的收益率 看到了不能增加,我们认为函数 自 我们很容易有这样的满足(20.), 作为。这就完成了定理的证明4。

定理5。让,。如果满足下面的不平等 然后 在哪里方程的正根吗

证明。让 然后分析在和。区分(36)和使用(22),我们获得 在哪里 使用(33)和(38),我们有 现在对所有真正的,我们有 在哪里积极的根(35)。
请注意,对于,,和 我们有和。这表明。因此对于每一个,。由引理2,我们得到,这证明(34)。

定理6。假设;和,。如果给出的 满足 然后 在哪里和方程的解: 在哪里是由(19)。

证明。使用(42)和身份(22),它遵循 为。把 在区分(47紧随其后的是一个简单的计算,我们得到的 让是地图的功能在角域与。通过使用(43)(48),我们得到 此外,应用程序的引理1收益率在因此为。
假设存在两个点这样的条件(28)是满意的。然后通过引理3我们获得(18约束(下)19)。因此,我们有 这与假设(43)。这证明了断言(44)的定理6。
为,定理6减少以下推论。

推论7。假设和。如果定义为(42)满足 然后 在哪里方程的解: