文摘
我们证明上部和下部的豪斯多夫维数估计的无限复杂的持续分数在规定数量有限的高斯整数。尤其我们会得出这样的结论:这些集的维数不为零或两套还有这样的尺寸大于1和小于1。
1。介绍
继续研究了分数的理论工作以来,沃利斯在17世纪;参见[1]。第一维理论视角无限真实继续工作的分数可以找到Jarnik [2),介绍了上部和下部的豪斯多夫维数估计继续分数与有界集数字。计算这些集合的维度的问题解决了几位作者3- - - - - -7]。在怨恨工作詹金森和Pollicott提供一个快速算法近似这一维度(8]。
无限复杂的维度理论方面继续研究了分数Mauldin et al。9,10]。他们证明了复杂的持续具有任意高斯整数的分数豪斯多夫维数大于1和小于2。
我们认为这里无限复杂的分数和要求的集合的豪斯多夫维数不断分数数字来自一个有限集。使用莫兰从迭代函数系统的理论公式11)我们能够给上下估计这些集合的豪斯多夫维数;看到定理1。我们将表明,集的维数不为零或两套还有这样的尺寸大于1和小于一个;看到推论2和3。此外我们提供明确的估计在选定的例子。
2。符号,结果,和例子
给定一个序列为高斯整数定义无限复杂的连分数
众所周知,每一个复数可以表示成一个无限连分数高斯整数使用赫维茨算法(12]。现在修复一个有限集合
我们考虑所有无限持续的集合分数来自部分条目:
显然,集是不可数的,这是一个空集的二维勒贝格测度(这是直接从推论2)。因此我们感兴趣的豪斯多夫维数集。回忆(13,14),维豪斯道夫测度的一组是
豪斯多夫维数的是由
现在我们国家我们的主要结果。
定理1。对于一个有限集让独特的实数满足
我们有
爹妈一个additionla参数这个定理具有以下推论。
推论2。对于所有有限集一个人;另一方面如果有多个元素。
证明。考虑
因此。如果有不止一个元素
因此。结果现在遵循从我们的定理。
通过类似的参数我们得到第二个推论。
推论3。存在有限集与存在这样的设置。
证明。考虑
因此,一个合适的选择我们有
对于这组我们有。另一方面考虑。我们有
因此。结果又遵循从我们的定理。
我们的话,可以推断出最后的定理的推论1和2 (9通过一些额外的参数。从我们的主要定理获得这些结果似乎我们更加透明。
我们最后的推论给出了明显的显式的上界和下界后从定理1。
推论4。对于一个有限集基数一个,
估计在这个推论当然非常粗糙。在这一节中,我们将应用定理1直接向几个例子。让。这些数字和是由 这意味着,这是一个可以接受的估计。如果我们考虑用小模数值我们得到了
这给了,这不是很好。让我们考虑一个例子。我们得到了 因此。考虑作为最后的例子。一项基本计算显示定理1给了。我们喜欢的话,可以找一个算法使用热力学形式近似的维数。我们可以应用最近方法Jekinsion和Pollicott15]无限复杂的连续分数。这种方法的缺点是不可能执行必要的计算没有使用电脑,这将改变我们的研究领域的计算数学。
3所示。结果证明
为考虑转换给出的
我们需要三个基本词汇中关于这些转换应用迭代函数系统的维度理论。首先,我们限制映射到开球。
引理5。为一个人
证明。为我们有
如果。应用翻译我们获得
如果。特别是我们得到
自为。我们必须显示图像的中心的距离加上形象的半径等于更少。这意味着
这显然是对吗。
接下来我们的画面显示,开放的球在不同是不相交的。
引理6。如果,一个
证明。我们必须表明,球的距离是大或等于半径的总和,即:
与和我们必须显示
这显然是真正的在我们的假设。
最后一个引理包含估计导数的模量的地图收球。
引理7。为一个人
证明。为我们有
现在第一个估计是显而易见的。请注意,第二部分
利用拉格朗日方法在过去的估计。这意味着结果。
给定一个有限集考虑迭代函数系统(IFS)的哈钦森(16]:
由引理5这IFS吸引子是定义良好的,即:
由引理6IFS满足开集条件下,首先介绍了莫兰(11]。此外,引理7我们有 对所有和所有。现在定理1驯鹰人的直接应用定理8.8 [17),一位著名的维IFS理论结果,这可以追溯到莫兰(11]。