文摘
急性多边形的三角是一个三角的三角形的内角都不到。三角形的数量在一个三角叫做它的大小。在本文中,我们探讨急性剖分的梯形和凸五角大楼和新结果证明这种剖分与最小大小。这就完成,提高了在某些情况下,结果在两篇论文的人民币(2010)。
1。介绍和预赛
平面多边形的三角测量是不重叠的三角形的有限集合覆盖的多边形,任意两个不同三角形分离或相交在一个共同的顶点或边。急性(分别地。,nonobtuse) triangulation of a polygon is a triangulation whose triangles have all their angles less (resp., not larger) than。三角形的数量在一个三角称为大小。Burago和Zalgaller1),独立,戈德堡和Manheimer2]证明了每一个钝角三角形可以分析成七个急性三角形,这一定是最好的。卡西迪和主3)分析表明,每平方可以成八急性三角形和8是最低数量。这是适用于任何矩形证明Hangan等人在4]。急性剖分的梯形、四边形和五角大楼研究(5- - - - - -8]。进一步的信息,历史记录,问题严重的多边形剖分和表面可以在调查文献[9]。让表示一个家庭的平面多边形,,让急性三角测量的最小大小。然后,让表示的最大价值对所有。以下结果是已知的。
定理1。(我)文献[7):让表示所有梯形的家庭,与至少一对平行四边形。然后,,在那里是家庭的长方形(也包括广场)。
(2)文献[6):让是所有的四边形的家庭。然后,。
(3)文献[5):让是所有凸四边形的家庭。然后,。
(iv)文献[8):让表示所有平面五角大楼的家庭。然后,。
在本文中,我们讨论急性剖分的梯形和凸五角大楼和证明这样的三角剖分的新结果与最小大小。例如,我们得到以下正确的梯形的特征:他们是唯一的梯形需要六个三角形和一个室内急性三角顶点的最小大小。对于凸五角大楼的家庭,我们表明,该绑定在定理1(iv)一些额外的条件下可以提高。
让是一个凸多边形平面。一个顶点的被称为急性(分别地。正确的)如果内角的角落在小于(分别地。,等于);否则,被称为一个钝角。让是一个急性三角。一个顶点或边被称为边界(分别地。,在terior) vertex or edge if it lies on the boundary of(职责。lies inside)。让,,顶点的数目,内部顶点,顶点和边界。让,,边的数量,内部边缘和边界的边缘。显然,我们有,,。为每个顶点在事件,边的数量被称为的程度,用。让表示的顶点数的程度。让表示三角形的数量。下面的引理很容易验证(cf。6引理1])。
引理2。让是一种急性的三角平面凸n角。然后,一个(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,(5)如果一个顶点的是一个内部顶点,那么,如果躺在一边,然后,如果是一个钝角或角落吗,然后。
2。梯形的特征
2.1。平行四边形
让是一个平行四边形急性角落和和。如果对角划分的角度和成锐角,然后与两个急性三角形可三角剖分的。否则,我们有以下引理,完成定理2.1(2节7]。
引理3。让是一个平行四边形急性角落和。假设对角线不把角度(或)成锐角。然后,是可三角剖分的有四个急性三角形,这是最好的。
证明。让三角形的最小数量在急性三角平行四边形的。一些边缘事件和(职责。)必须满足的内部。表示这样的优势,和假设是一个内部的顶点,也就是说,。然后,顶点和学位至少2,顶点和有学位至少3,顶点吗学位至少5。总结,我们有,因此。自通过引理2(4),我们得到的,所以。现在假设。然后,位于边缘的内部(或)。否则,如果,至少有一个顶点和一定程度上通过假设。这意味着有一个邻居的程度,给一个矛盾。因此,和的程度至少是4,的程度(职责。)至少3。由引理2(1),我们得到的。现在,对于一个平行四边形在声明中,急性三角4中给出了三角形(7,第二节]。
2.2。梯形
后(7),我们说一个梯形是平行的四边形至少有一对。让是一个梯形平行和与。让(职责。的正交投影(职责。)的直线包含。假设是内部和外,。如果对角划分的角度和成锐角,然后与两个急性三角形可三角剖分的。否则,我们有以下引理可作为引理证明以同样的方式3。
引理4。让是一个梯形急性角落和,平行边和与钝角和一个锐角。然后,是可三角剖分的有四个急性三角形,这是最好的。
让是一个梯形与两个相邻锐角和,平行边和,因此,。如果存在一个内部点在这样的三角形,,是急性,那么可三角剖分的3急性三角形。否则,我们有以下引理。
引理5。让是一个梯形与两个相邻锐角和和并行和。假设没有内部点在这样,,是急性三角形。然后,是可三角剖分的有5个急性三角形,这是最好的。
证明。让三角形的最小数量在急性三角任何梯形的声明。一些边缘必须符合内部的吗。假设是一个内部点的,也就是说,。然后,它立即跟随所以。假设没有内部顶点,也就是说,和是一个边界顶点。一些边缘必须符合内部的吗,也是一个边界顶点。我们可以假设至少从一个三角形,,不严重的假设。这意味着。由引理2(1),。现在,对于一个梯形在声明中,急性三角与5中给出了三角形7,第三节]。
以下结果给出了正确的梯形的特征。
命题6。每两个直角梯形是可三角剖分的有六个急性三角形和一个内部顶点,这一定是最好的。
证明。让三角形的最小数量在急性三角梯形的与正确的两个角落和。让是一种急性的角落,因此。一些边缘必须符合内部的吗。假设是一个内部的顶点和。然后,是一个结束五内部边缘的顶点。至少有一个邻居的是室内的梯形,因此事件进一步的内部优势。所以,,和。假设是一个内部顶点和。然后,至少有两个顶点与学位的程度,(职责。和)是的程度,是,至少有一个顶点的度。然后,我们有,所以。自由引理2(4),我们得到的,所以。假设和。一些边缘必须符合内部的吗。然后不能躺在边缘;否则,一些边缘事件必须符合内部的吗,我们得到一个内部顶点反对这一事实。所以,必须在内部的吗。如果角度不正确,我们得到一个矛盾自是两个直角梯形只有至少承认急性三角测量的尺寸。但这与最小大小的。如果角度是正确的,那么是一个广场。但任何急性三角广场必须至少有一个室内的顶点。所以,我们得到又一个矛盾。现在,对于一个梯形在声明中,急性三角测量6个三角形和一个内部顶点给出(7,第三节]。
引理7。让是一个梯形急性角落和,平行边和,和两个外。然后,与七个急性三角形可三角剖分的。这一定是最好的这样一个梯形的急性剖分中有至少一个内部顶点。
证明。让与至少一个内部急性三角顶点为梯形的声明。让表示的大小。假设。然后,内部有两个顶点和在,至少有两个邻国和/或学位至少4。自和,引理2(1)给。假设。然后,至少有三个顶点,,与学位。度的和是的,那些和是。至少有两个邻居的,和/或与学位。总结,我们有,因此。自通过引理2(4),我们得到的,因此。因此,我们可以假设。内部顶点不能连接到所有的顶点。否则,有邻居这是内部的梯形。因此进一步内部顶点附近的梯形,也就是说,。这与。如果连接到梯形的三个顶点,说什么,,,有两个邻居的有学位。此外,至少一个钝角的角落和一定程度上。然后,我们有,和,因此。如果加入两个顶点的吗,然后有三个邻国与学位。的两个顶点的程度与是,剩下的两个顶点有学位。总结,我们得到,因此。自通过引理2(4),我们有,因此。如果加入一个顶点的吗,然后四个邻国有学位。因此,,由引理2(1),。现在,一个梯形的声明中,急性与7急性三角形三角中描述(7,第三节]。
3所示。急性剖分的五角大楼
下列命题遵循直接从结果证明(5]。
8号提案。每一个凸四边形承认急性三角测量的大小最多8个,这样最多有两个新顶点两侧。
这是所示(8引理3.1),每一个五角大楼和至少一个急性角落可以分析到最多32个急性三角形。凸性假设下,我们有以下。
9号提案。每个凸五角大楼和至少一个急性角落可以分析到最多25急性三角形。
证明。让(逆时针顺序)与至少一个凸五角大楼急性角,说。我们区分某些情况下。
案例1。三角形是严重的。由命题8的凸四边形有急性三角测量尺寸这样有最多2边的顶点。
子用例1.1。没有边的顶点。然后,承认急性三角最多9个三角形。
子用例1.2。有精确的顶点,一边说,在。由引理的46),因为是一个锐角三角形,对于任何意义在旁边,有两个点在和在这样的线段,,分分为四个急性三角形。然后,我们得到一个急性三角最多为12个三角形。
子用例1.3。正好有两个顶点,说和,在。在这种情况下,凸四边形急性三角测量的大小7所示(5]。假设是一个内部点的。让上的点这样平行于。然后,三角形是严重的。由引理的46),三角形分析可以分为四个急性三角形作为唯一的顶点上和两个顶点和在边缘和,分别。让和的正交投影和在边缘上。的片段和把正确的梯形为三个直角三角形。由(7第三节),是一种急性的三角测量梯形引入大小6没有新顶点的边和。然后,我们可以略微下滑和的方向来这样的三角形,,变得严重。这使急性三角的的大小是最多20。
案例2。三角形是nonacute,例如,一个nonacute角落。
子用例2.1。没有边的顶点。然后,存在一个锐角三角形,属于急性三角与大小。让的正交投影在旁边。定理2 (6),因为与nonacute角落是一个三角形,任何时候在旁边,是一种急性的三角测量等尺寸7是唯一边顶点躺在。这种急性的三角测量有新的顶点(职责。和)介绍(职责。)。最后,我们可以稍微下滑远离方向垂直于这样的三角形和变得严重。这使急性三角的最多16个急性三角形。
子用例2.2。正是有一个顶点在。与前面的子用例,由定理2的6),在任何时候在旁边,是一种急性三角形的三角测量等尺寸7是唯一边顶点躺在。这使急性三角的到最多15急性三角形。
子用例2.3。正好有两个顶点,说和,在。在这种情况下,有急性三角的大小75]。假设是一个内部点的。让上的点这样平行于。然后,三角形有一个nonacute角落。定理2 (6),可以分析成7急性三角形作为唯一的顶点上和新顶点分别和在边缘分别。让,,的正交投影,,在边缘上,分别。的线段,,,把正确的梯形到5直角三角形。由(7第三节),是一种急性的三角测量梯形引入大小6没有新顶点的边和。然后,我们可以略微下滑,,的方向来这样的三角形,,,,变得严重。这使急性三角的最多的大小是25。
推论10。每个凸五角大楼与至少两个不相邻急性角落可以分析到最多16个急性三角形。
证明。的假设和结果5),我们可以避免子用例1.3和2.3在上面的证据。其余病例给请求的束缚。
命题11。每一个梯形(分别地。,rectangle) admits an acute triangulation of size at most 7 (resp., 8) such that there are at most one new vertex introduced on each side.
命题12。让是一个凸五角大楼至少有一个急性角和两个平行,nonincident。然后,可以分析到最多14急性三角形。
证明。让(逆时针顺序)与至少一个凸五角大楼急性角,说,两条平行边和与。我们区分某些情况下。
案例1。三角形是严重的。
子用例1.1。让和的正交投影和分别在直线上包含边缘。假设(职责。)内部(分别地。、外观)。由(7第二节),梯形承认急性三角测量的大小最多4没有新的顶点。然后,有急性最多5大小的三角测量。
子用例1.2。假设上述正交投影和内部边缘吗。由(7第二节),梯形承认急性最多5大小的三角,这样没有引入新的顶点。然后,急性三角大小最多6。
子用例1.3。假设是一个直角梯形(这意味着三角形是急性)。由(7第三节),可以分析到6急性三角形,没有新的顶点。然后,最多的急性三角测量尺寸7。
子用例1.4。假设上述正交投影和是外。由(7第三节),承认急性三角测量的大小最多7,这样只有一个顶点,说,一边。由引理的46),在任何时候在一边,有两个点在和在这样的线段,,分成4急性三角形。然后,最多可以分析到11急性三角形。
案例2。三角形是nonacute,角落里吗例如,nonacute。
子用例2.1。让子用例1.1。有一个锐角三角形属于三角测量的尺寸的。让的正交投影在边缘上。定理2 (6),是一种急性的三角测量等尺寸7是唯一边顶点。然后,急性三角大小最多12。
子用例2.2。让子用例1.2。推理与前面的子用例急性三角的与大小。
子用例2.3。让子用例1.4。定理2 (6)三角形最多可以分析成7急性三角形,只一边顶点是。这使急性三角的与大小。
承认
作者要感谢匿名裁判的仔细阅读和非常有用的意见和建议。